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Teorema del sándwich

¿Siempre se puede dividir un sándwich, con un solo corte, de manera que los ingredientes se repartan por igual?

Carlo Frabetti
Fotograma de 'Los Simpson'.
Fotograma de 'Los Simpson'.

Con respecto al truco matemágico de las 21 cartas planteado la semana pasada, comenta David Fernández: “Lo mejor para resolver los trucos matemáticos del mago es hacerlo tú mismo. En el caso de las 21 cartas, el mago siempre hace lo mismo en cada iteración, las distribuye una a una en tres montones de 7 cartas y coloca en el medio el montón donde está la carta, es decir, siempre aplica la misma transformación o función a la posición de la carta. Si existe una posición que, aplicada la función, da

como resultado la misma posición, el mago puede adivinar la carta. Quizá es más sencillo de observar si el mago usa 27 cartas en 3 montones de 9 cartas”. Y añade Luca Tanganelli: “Sí, realmente el mago está colocando la carta en la posición 3⁰+3¹+3²=13. Con el primer ordenamiento decide el resto de su posición final al dividir por 3. Con el segundo decide el módulo 9, y con el tercero completa la posición final”.

Invito a mis sagaces lectoras y lectores a analizar este truco/algoritmo con distinto número de cartas. Podría ser un excelente ejercicio, muy didáctico, para realizar con niños.

Por su parte, Francisco Montesinos, más técnico, comenta: “Decir que el mago está manejando 3 permutaciones del grupo simétrico S9 de forma que su producto es la identidad no es decir gran cosa. Si i = p3.p2.p1, como cualquier permutación puede descomponerse en producto de transposiciones, si conseguimos descomponer p1, p2 y p3 correctamente como producto de transposiciones y el número del mago realmente funciona (de lo que tengo mis dudas) se verá como las transposiciones se van anulando dos a dos hasta obtener realmente la identidad inicial”.

Dudas lícitas (siempre hay que dudar de los magos), pero el truco -el algoritmo- funciona, como es fácil comprobar realizando la maniobra unas cuantas veces.

El teorema con más nombres

Algunos lectores, en las últimas semanas, han planteado cuestiones relacionadas con el teorema del sándwich, también conocido como teorema de encaje, teorema de intercalación, teorema de la función comprendida, teorema de estricción, teorema del enclaustramiento, teorema de acotación, teorema de compresión, teorema de las funciones mayorante y minorante, teorema del ladrón y los dos policías, teorema del bocadillo o teorema de comparación (y seguro que me dejo algún nombre).

Este teorema dice que si dos funciones tienen el mismo límite, cualquier función que pueda ser acotada entre ambas tendrá también el mismo límite.

Una habitual manera gráfica de expresar la idea, que es la que ha dado nombre al teorema, es que, si queremos repartir de forma equitativa entre dos personas un sándwich de jamón y queso, siempre podremos dividirlo, de un solo tajo, en dos partes que contengan la misma cantidad de pan, de queso y de jamón, aunque la distribución inicial de los ingredientes no sea homogénea.

La demostración rigurosa del teorema no es difícil, pero sí larga y engorrosa, así que, para ir entrando en materia, propongo una versión más simple:

En un folio o una cuartilla en blanco, dibuja una línea cerrada cualquiera y luego traza una recta que divida en dos partes iguales tanto el folio como la superficie encerrada en la línea. Demuestra que siempre es posible hacerlo, independientemente del tamaño y la forma de la figura dibujada (o encuentra una figura con la cual no sea posible tal división)

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Sobre la firma

Carlo Frabetti
Es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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