Dennis Sullivan, premio Abel 2022, un matemático poliédrico

A principios de 1960, Dennis Sullivan era un estudiante de Ingeniería Química en la Universidad Rice, en Texas (EE. UU.), con un porvenir asegurado en la boyante industria petroquímica local. En su segundo año se enroló en un curso de análisis matemático, como estaba mandado y, a las pocas semanas, su profesor les explicó el teorema de representación conforme de Riemann. Este resultado, uno de los grandes hitos del siglo XIX, afirma que es posible deformar a gran escala una superficie de forma muy complicada, respetando, a pequeña escala, la forma original. Si en lugar de figuras planas se consideran volúmenes tridimensionales, esto es imposible.

Al comprender este teorema, todo cambió para Sullivan. “Las matemáticas eran algo profundo, general, a lo que merecía la pena dedicarse”, afirmaba años más tarde. Desde aquel momento, en su discurrir incansable en pos del entendimiento de las matemáticas, Sullivan ha ido creando una de las obras más influyentes y variadas de los últimos 60 años. Prueba de ello es que, si se pregunta sobre él a distintos especialistas, muchos coincidirán en que le deben sus áreas de investigación, pero parecerá que cada uno habla de una persona diferente.

Unos destacarán sus primeros trabajos, cruciales para el desarrollo de la topología moderna: su técnica de localización en primos, la teoría de la homotopía racional, o la demostración de la conjetura de Adams. Otros acentuarán sus aportaciones al estudio de los grupos kleineanos o a la dinámica holomorfa. Entre estas, está su famoso “teorema del dominio no errante” (“no wandering domain theorem”).

Este teorema se inscribe en la siguiente cuestión: partimos de cierta regla para asignar a todo punto de la superficie de una esfera otro punto de la misma superficie; aplicando esta regla, como se ve en el dibujo, el punto x se transforma en y, y la región de puntos amarilla A se transforma en otra B. Si aplicamos ahora la misma regla de transformación sobre el resultado, y repetimos esto suficientes veces, podríamos volver a una de las regiones por las que ya hemos pasado. En este caso, decimos que el conjunto amarillo no es errante. Para una regla de transformación y una región generales, es muy raro que esto ocurra.

En los años veinte del siglo pasado, el matemático francés Pierre Fatou conjeturó que, para cierta clase de reglas de transformación, había unas regiones, llamadas ahora conjuntos de Fatou, que no eran errantes. Sullivan fue el primero en demostrarlo, 60 años más tarde, gracias a su rara habilidad para discernir qué estructuras matemáticas son esenciales en un problema.

Las reglas de transformación que consideró Fatou, llamadas funciones racionales, consisten solamente en realizar una cantidad finita de sumas y multiplicaciones, y después una división. Esto trae consigo que no hay “demasiadas” reglas de esta clase. Mejor dicho, aunque hay infinitas, basta una lista de, por ejemplo, 100 números (100 coordenadas) para describir a cada una, de forma análoga a lo que ocurre con los puntos sobre un mapa: también hay infinitos, pero cada uno se puede situar inequívocamente con dos coordenadas. Decimos que el mapa tiene dos dimensiones, y el “espacio de todas las reglas” tiene cien.

Sullivan se preguntó qué pasaría si la conjetura de Fatou fuese falsa, es decir, si las regiones de Fatou fuesen errantes, y demostró que, en tal caso, ¡el “espacio de todas las reglas” tendría infinitas dimensiones! Pero sabemos que esto es falso, por tanto, la conjetura de Fatou es correcta. Para llegar a esta contradicción, Sullivan utilizó estructuras irregulares (llamadas transformaciones casi-conformes) en un problema cuyas estructuras aparentes son muy regulares.

Quedarían todavía muchísimas aportaciones igualmente importantes de Sullivan por mencionar: ciclos foliados, topología de cuerdas… junto con otras, menos visibles, que van más allá de lo que se puede encontrar en sus artículos. Muchos trabajos de otros matemáticos han resultado no ya de su inspiración, sino directamente de su concierto.

Su seminario en la City University of New York, en plena Quinta Avenida, ha sido durante décadas un centro de la vida matemática de la ciudad. Allí presentan sus últimos trabajos investigadores venidos de todas partes, en sesiones que a veces se prolongan cinco o seis horas, derivando en una especie de jam session matemática gracias a la atmósfera afable e inquisitiva que promueve el organizador.

Quienes conocen a Sullivan quedan impresionados por su energía, su sagacidad, y su generosidad. Muchos se sentirán identificados en la experiencia que relata el matemático francés Etienne Ghys: siendo este todavía un estudiante doctoral en Lille, pasó un día por allí Sullivan, ya célebre, para presidir un tribunal de tesis. Se pusieron a charlar y a Ghys le sorprendió el interés que mostraba el gran matemático por su trabajo. Al rato, alguien vino a buscar a Sullivan para que se uniese a beber algo: “No”, respondió, “I am drinking mathematics with Etienne!”

Francisco Javier Torres de Lizaur es profesor en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla.

Ágata Timón G Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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