¿Cuánto se puede anudar una cuerda sobre sí misma?

El número de cruces de los nudos permite clasificarlos matemáticamente

Representación artística de un nudo salvaje.
Representación artística de un nudo salvaje.Aubin Arroyo

En matemáticas muchas veces partimos de una pregunta sencilla, que nos lleva por caminos insospechados. Por ejemplo, ¿cuántas veces es posible anudar una cuerda sobre sí misma? En el mundo real, diversos impedimentos físicos determinan la respuesta: la longitud de la cuerda, su capacidad elástica y grosor… Si despojamos a la pregunta de todas estas restricciones físicas nos quedamos con una pregunta matemática.

Un nudo matemático es una curva elástica que se enreda en el espacio y que se puede deformar, manipulando sus partes sin romperlas. Los nudos matemáticos tienen pegados sus extremos, como la línea que dibuja un círculo. Ese es el nudo más sencillo, el nudo trivial; pero no es el único.

La diversidad de estos objetos matemáticos es infinita y una de las labores de la teoría de los nudos -que es un área de la topología-, es describirla. Para ello, hay que determinar cuándo dos nudos son el mismo: lo serán cuando es posible deformar uno en el otro, sin romperlo. Con suerte, este proceso termina en algún momento, cuando son iguales, pero, por el contrario, si no lo son, podemos invertir muchísimo tiempo sin llegar a ninguna conclusión.

Para ahorrarnos este camino, la teoría de los nudos se encarga de identificar propiedades matemáticas que se pueden comprobar más fácilmente. De estas, la más sencilla es contar cuantas veces se cruza la curva al dibujarla en una hoja de papel, indicando qué parte cruza por arriba y qué parte por debajo, en cada cruce.

Sin embargo, un mismo nudo puede tener muchísimos diagramas diferentes; no solo de acuerdo al punto de vista desde el que se dibuje, sino que, además, podría haber algunos cruces que desaparecerían simplemente torciendo, un poco, alguna parte del nudo.

La cantidad mínima de cruces que se pueden conseguir en un diagrama del nudo permite decir si dos nudos son diferentes; por ejemplo, si uno tiene tres y el otro cuatro. Y también permite organizar los nudos en un gran catálogo, empezando por el más simple: el círculo, o nudo trivial, que se puede dibujar sin ningún cruce.

Todos los nudos que se pueden dibujar con uno o dos cruces se pueden manipular de tal manera que queden idénticos a una circunferencia. Solo hay un nudo con tres cruces y se le conoce como el “nudo trébol”. El “nudo ocho” es el único que se puede dibujar con cuatro cruces, pero a partir de ahí, la diversidad crece rápidamente. El catálogo de nudos con hasta diez cruces tiene 250 nudos diferentes, y con hasta 19 la cantidad asciende a más de 300 millones.

Un nudo salvaje tiene una cantidad infinita de cruces y da respuesta a la pregunta con la que empezábamos este texto. Para imaginarlo, podemos valernos de una receta que, aunque infinita, es relativamente simple. Un ingrediente importante de la receta son los espejos esféricos, que muestran, en su superficie, la imagen reflejada de todo el espacio, como si estuviera en el interior de la esfera. Este espejo deforma la mayoría de las figuras: las líneas rectas se observan curvas y es inevitable pensar en un pez al mirar nuestro rostro reflejado. La única figura que no cambia al reflejarse, salvo por su tamaño, es la figura de cualquier otra esfera.

La clave de la receta está en esta propiedad, pues, esa otra esfera también podría estar hecha de espejo y, en ese caso, si nos fijamos con cuidado, podríamos observar, en el reflejo de esa esfera, la imagen reflejada de la esfera inicial… un trabalenguas. Para construir un nudo salvaje se parte de un nudo de los del catálogo, cualquiera sirve salvo el nudo trivial, y se necesitan también algunos cuantos espejos esféricos, que pueden ser de diferentes tamaños. Entonces, se engarzan las esferas, una a una, en una cuerda imaginaria, procurando que estén suficientemente apretadas para que las esferas consecutivas se toquen en un punto, para formar un collar.

A continuación, se anuda el collar de acuerdo al diagrama del nudo elegido y se cierra por sus extremos, procurando que las esferas de las puntas también se toquen. En cada una de las esferas del collar se refleja una copia del resto del collar y estos pedazos de collar se conectan, en esferas consecutivas, formando un nuevo collar, hecho de esferas más pequeñas. Este nuevo collar es más intrincado que el anterior, pues en cada pedazo se puede ver la forma del nudo repetido en cada esfera. Además, como también está hecho de esferas reflejantes podemos repetir el paso anterior en este nuevo collar y así otra vez, y otra vez… hasta el infinito.

Imagen digital de un Nudo trébol 31: 2352 esferas y sus reflexiones.
Imagen digital de un Nudo trébol 31: 2352 esferas y sus reflexiones.Aubin Arroyo

El nudo salvaje tiene infinitos detalles cada vez más pequeños. Y, gracias a las matemáticas, sabemos que dentro de todos estos collares solo cabe una delgada curva sin extremos, infinitamente anudada: un nudo salvaje. Efectivamente, en cada paso, las esferas reducen su tamaño; y en cada paso agregamos más y más cruces.

Si bien hay fórmulas explícitas y precisas que describen exactamente la posición de las esferas reflejadas en el interior, a diferencia de los espejos, que nos muestran una imagen plana en la superficie, esta idea nos permite imaginarnos (y estudiar, desde el punto de vista de las matemáticas) los nudos salvajes.

Aubin Arroyo es investigador en el Instituto de Matemáticas de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM)

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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