Olga Ladyzhenskaya, una vida dedicada a las ecuaciones

Olga Ladyzhenskaya fue una de las personas más influyentes y brillantes del siglo XX en el campo de las ecuaciones en derivadas parciales (EDP). Nació el 7 de marzo de 1922, hace ahora justo 100 años, en Kologriv, Rusia, en una familia con orígenes nobiliarios. Su procedencia le ocasionó grandes dificultades, tanto en el ámbito personal como profesional, en una Unión Soviética liderada por Stalin. Su padre fue considerado enemigo de la nación y ejecutado cuando Olga tenía 15 años.

Pese a las dificultades, el talento de Ladyzhenskaya para las matemáticas y la enseñanza le permitieron llegar a la Universidad Estatal de Moscú en 1943, después de que en 1939 se le denegara el acceso a la Universidad de Leningrado. En Moscú entró en contacto con prestigiosos matemáticos como Ivan Petrovsky, Vyacheslaw Stepanov, Andrei Tikhonov o Ilia Vekua, quienes despertaron su interés por las EDP y la física matemática, especialmente Nikolai Smirnov.

Ladyzhenskaya finalizó su tesis doctoral en 1951, pero no pudo publicarla hasta 1953, tras la muerte de Stalin. En ella estudiaba la existencia de soluciones de cierto tipo de problemas de EDP llamadas hiperbólicas. Para ello adaptó el llamado método de las diferencias finitas, que a día de hoy es una herramienta esencial para la matemática teórica y también para la aplicada. Efectivamente, muchos de los métodos utilizados para encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones mediante un ordenador lo usan.

En la misma línea introdujo métodos fundamentales para entender ecuaciones en las que aparecen operadores elípticos de segundo orden, muy frecuentes en sistemas físicos de cierta complejidad, como un material sometido a fuerzas que intentan deformarlo. Las ideas que desarrolló forman hoy parte de teorías como la del análisis espectral de operadores y han contribuido al establecimiento de nociones como la de “solución débil”, que es una herramienta esencial de la teoría moderna de EDP. Estos trabajos contribuyeron a la resolución del problema 20 de la lista de 23 que en 1900 el matemático alemán David Hilbert propuso como los desafíos más importantes para las matemáticas del siglo XX.

El resto de su carrera estuvo dedicada al estudio de la existencia y unicidad de soluciones de algunas de las EDP más importantes de la física como, por ejemplo, las ecuaciones de la elasticidad, que modelan el comportamiento de los materiales, la ecuación de Schrödinger, que gobierna el mundo cuántico o las de Maxwell, que describe el electromagnetismo. Pero, sin duda, las ecuaciones que más interesaron a Olga fueron las de Navier-Stokes. Estas ecuaciones, propuestas independientemente por Claude-Louis Henri Navier en 1822 y por George Gabriel Stokes en 1845, describen el movimiento de un fluido incompresible, basándose en los trabajos previos de Leonhard Euler.

Sin embargo, no fue hasta mediados del siglo XX, que Jean Leray y Eberhard Hopf construyeron una teoría de existencia de soluciones para ellas, dando lugar a las llamadas soluciones de Leray-Hopf. El problema de la regularidad de estas soluciones y el de su unicidad siguen abiertos en la actualidad y son uno de los temas centrales en la investigación matemática contemporánea. El instituto Clay de Matemáticas ofrece un millón de dólares por la solución del primero. Algunos de los resultados más profundos sobre estos problemas se deben a Ladyzhenskaya y uno de los libros clásicos en esta disciplina, The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow, es obra suya.

Los primeros resultados que obtuvo en mecánica de fluidos fueron para el sistema de Stokes, que considera las ecuaciones de Navier-Stokes independientes del tiempo. Su principal logro fue demostrar la existencia de soluciones en dominios acotados en la década de los cincuenta del siglo pasado. Junto con Vsevolod Solonnikov, probaría más tarde también su unicidad. Después, Ladyzhenskaya probó existencia local de soluciones para las ecuaciones de Navier-Stokes y la unicidad de las mismas, bajo condiciones más restrictivas que las que cumplen, en general, las de Leray-Hopf.

En 1967 probó uno de sus resultados más potentes. En él, demostró que las soluciones de Leray-Hopf son regulares (suaves) si cierta cantidad, que mide el tamaño de la velocidad, permanece finita. Una manera de entender este teorema, conocido como el criterio de Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin –ya que Giovanni Prodi y James Serrin demostraron el mismo resultado, obviando ciertas cuestiones técnicas, en las mismas fechas de manera independiente–, es el siguiente: si el movimiento de un fluido deja de ser regular, es decir, si sufre cambios bruscos, es porque la velocidad se ha hecho enorme. No hay casos intermedios, no podemos ver un cambio brusco en la dirección de su movimiento si su velocidad es finita.

Este teorema, y los argumentos utilizados para probarlo, siguen siendo explorados en la actualidad para entender el comportamiento de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes.

Olga Ladyzehnskaya murió el 12 de enero de 2004 con 81 años. Hasta su muerte se mantuvo activa investigando las soluciones de las EDP.

Ángel Castro es investigador del ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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