Más enigmas de autor (y autora)

El primer “enigma de autor” de la semana pasada está tomado del maravilloso (en ambos sentidos del término) libro de Malba Tahan El hombre que calculaba, y el reparto de perlas entre las hijas del rajá exige que la última hija, la enésima, se lleve n perlas y no sobre ninguna, pues si sobraran algunas tendría que llevarse, además, la séptima parte de ellas, y quedarían sin repartir 6/7 de dichas perlas sobrantes. Y como nos dicen que el reparto es equitativo, cada una de las demás hijas también se lleva n perlas, por lo que su número total es n². Por otra parte, este número ha de ser múltiplo de 7 más 1, para que la hija mayor pueda llevarse una perla más un séptimo de las sobrantes, luego n² = 7k + 1, donde k es un número entero. La menor solución es k = 5, n = 6, o sea, 6 hijas y 36 perlas. La primera hija se lleva 1 + 35/7 = 6; la segunda, 2 + 28/7 = 6; la tercera, 3 + 21/7 = 6; la cuarta, 4 + 14/7 = 6; la quinta, 5 + 7/7 = 6; y la sexta, las 6 perlas restantes. Esta solución es única (¿por qué?).

El segundo problema es obra de Angela Foxx Dunn, que en los años sesenta del siglo pasado realizó, para un par de revistas técnicas, una excelente sección semanal de acertijos matemáticos titulada Problematical Recreations, y también publicó varios libros sobre el tema. Si llamamos x al menor de los dos números consecutivos, tenemos que x = 23a y x+1 = 29b, siendo a y b números enteros, luego 29b = 23a+1, por lo que a ha de ser de la forma 29k+5 y b de la forma 23k+4. Como los números solo pueden contener los dígitos 1 y 2, x ha de terminar en 1, luego a termina en 7, y por tanto k termina en 8. Con k = 18, a = 27 y b = 418, y los números son 12.121 y 12.122.

El tercer problema es una ingeniosa aproximación del maestro Raymond Smullyan al teorema de Cantor, y de momento no diré nada más.

Y el rompecabezas de los cuadrados superpuestos es del maestro de maestros, Lewis Carroll. A todos los vértices les corresponde un número par de aristas, por lo que el recorrido tiene que empezar y terminar en el mismo punto. Hay varias soluciones distintas (aunque no tantas como parece, pues las soluciones simétricas son equivalentes).

Y otros cuatro de la misma cantera

1. Un paseante sale de su casa a las tres. Recorre un camino llano, luego sube a una colina y, sin prisa pero sin pausa, regresa a su casa y llega a las nueve. En el camino llano va a 4 millas por hora, subiendo a la colina a 3 y en el descenso a 6. Hallar la distancia recorrida por el paseante y, con media hora de aproximación, la hora en que llegó a lo alto de la colina.

2. “Yo soy como el Rey Rojo -dijo la Reina Roja-. Al igual que él, creo cosas falsas cuando estoy dormida y cosas verdaderas cuando estoy despierta. Anoche, a las once, el Rey Rojo creía que yo estaba dormida. A la misma hora, ¿qué creía yo, que él estaba dormido o que estaba despierto?”.

3. Usando los diez dígitos, formar dos números de cinco cifras cuyo producto sea el mayor posible.

4. Tres marineros reciben como recompensa un montón de monedas que han de repartirse al día siguiente. Por la noche, uno de los marineros se despierta, divide las monedas en tres partes iguales, tira al mar una moneda que sobra y se lleva su parte. El segundo y el tercer marinero, sucesivamente, hacen lo mismo. A la mañana siguiente el capitán divide las monedas restantes en tres partes iguales, se queda una moneda que sobra y le da una parte a cada marinero. ¿Cuántas monedas había?

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