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La paradoja de Berry

Números que se resisten a ser definidos, narices que solo pueden crecer si no crecen…

Un fotograma de 'Pinocho'.

El menor número que no puede expresarse con menos de tres palabras es el treinta y uno, a no ser que aceptemos la posibilidad de escribirlo de la forma “treintaiuno”, poco ortodoxa pero tolerada por la RAE, en cuyo caso pasaríamos al mil ciento uno.

En cuanto al segundo acertijo planteado la semana pasada, se las trae, y ha suscitado numerosos y muy enjundiosos comentarios. ¿Cuál es el menor número natural que no puede definirse con menos de catorce palabras? Sea cual fuere, al decir “el menor número natural que no puede definirse con menos de catorce palabras” lo definimos con trece palabras, lo que entraña una contradicción conocida como paradoja de Berry, pues Bertrand Russell la planteó a partir de las reflexiones de G. G. Berry, bibliotecario de la Universidad de Oxford, que había señalado la índole paradójica de expresiones tales como “el primer número ordinal que no se puede definir”.

Esta paradoja, junto con la famosa paradoja del barbero, también reformulada por Russell en relación con la teoría de conjuntos (¿se contiene a sí mismo el conjunto de los conjuntos que no se contienen a sí mismos?), dio al traste con el monumental proyecto logicista de Gottlob Frege, que pretendía reducir la matemática a la lógica (en el sentido de deducir las verdades de la matemática directa y exclusivamente de las verdades de la lógica). En 1902, con su obra Leyes básicas de la aritmética ya en la imprenta, Frege recibió una carta de Russell en la que le señalaba, a partir de las citadas paradojas, una incoherencia en su sistema lógico-matemático (en honor de Frege hay que decir que encajó con gran entereza aquel golpe que desbarataba el resultado de largos años de trabajo y supo convertir su error en punto de partida de nuevas aportaciones al desarrollo de la lógica). 

Paradojas replanteadas

Como acabamos de ver, en realidad las paradojas atribuidas a Russell no son suyas; pero él las reformuló y replanteó en un contexto que les confirió un nuevo e importante papel. Intentemos emularlo:

1. ¿Qué pasaría si Pinocho dijera “Va a crecerme la nariz”? ¿Es esta paradoja idéntica a la famosa paradoja del mentiroso o posee características propias?

2. A estas alturas no tiene mucho sentido volver a preguntar qué fue antes, el huevo o la gallina; pero tal vez lo tenga esta otra pregunta: del mismo modo que la paradoja de Russell sobre los conjuntos que se contienen a sí mismos es equivalente a la paradoja del barbero, ¿de qué famosa paradoja es una variante —o un caso particular— la del huevo y la gallina?

3. Llamemos autorreferentes a las palabras aplicables a sí mismas (como “sustantivo”, que es ella misma un sustantivo, o “esdrújula”, que es esdrújula) y no-autorreferentes a las que no lo son (como “adjetivo”, que no es un adjetivo, o “aguda”, que es llana). ¿Qué clase de palabra es “no-autorreferente”? ¿A qué paradoja remite esta cuestión?

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