Autorreferencia y bucles extraños

En el Bosque del Olvido, donde dejamos a Alicia la semana pasada, el león solo puede decir “Ayer me tocó mentir” un lunes o un jueves: el lunes, porque mentiría al decir que ayer (el domingo) le tocó mentir, y el jueves, porque diría la verdad al decir que ayer (el miércoles) le tocó mentir. Pero el lunes el unicornio no podría decir “A mí también me tocó mentir ayer”, pues los lunes dice la verdad y los domingos también. Por lo tanto, es jueves.

En cuanto a lo que cree la Reina Roja, si el Rey Rojo está dormido, su creencia es falsa, luego la Reina Roja está despierta, luego creerá, acertadamente, que el Rey Rojo está dormido. Si el Rey Rojo está despierto, su creencia es cierta, luego la Reina Roja está dormida, luego creerá, erróneamente, que el Rey Rojo está dormido. Tanto si el Rey Rojo está despierto como si está dormido, la Reina Roja creerá que está dormido.

Y de los tres sospechosos, el primero (A) es inocente, puesto que dice la verdad al acusar a otro. El segundo (B), aunque miente, también es inocente, pues diría la verdad si acusara al compañero al que no ha acusado. Luego el culpable es el tercer sospechoso (C). También sabemos, por tanto, que A ha acusado a C (puesto que dice la verdad) y B ha acusado a A (puesto que miente); pero no sabemos a quién ha acusado C.

Metapreguntas y bucles

El hecho de que una de nuestras lectoras más participativas utilice el seudónimo “Gertrude Stein” me ha llevado a recordar que la genial escritora, en su lecho de muerte, le preguntó a su compañera: “¿Cuál es la respuesta?”, y al no obtener contestación dijo: “Entonces, ¿cuál es la pregunta?”.

No era la primera en preguntárselo. Los antiguos griegos, que se lo preguntaron casi todo, tenían que llegar a la metapregunta, y a ella llegaron por diversas vías. Se cuenta que Epiménides, el semilegendario poeta y filósofo cretense del siglo VI a. C., viajó a Oriente para encontrarse con Buda y le preguntó: “¿Cuál es la mejor pregunta que se puede hacer y cuál es la mejor respuesta que se puede dar?”. Y Buda contestó: “La mejor pregunta que se puede hacer es la que acabas de hacerme, y la mejor respuesta que se puede dar es la que te estoy dando”. ¿Tiene sentido esta frase tomada literalmente o hay que entenderla como una alusión poética a los límites del conocimiento?

También se atribuye a Epiménides la paradoja por excelencia: la del mentiroso, de la que existen distintas versiones, y cuya expresión más simple es “Esta frase es falsa”; si es verdadera, es falsa, pues eso es lo que afirma, y si es falsa, es verdadera, pues lo que dice es cierto…

Tanto la supuesta pregunta de Epiménides a Buda -y su respuesta- como la paradoja del mentiroso son desconcertantes ejemplos de autorreferencia. Cuando el discurso se vuelve sobre sí mismo, se forman a veces extraños bucles (según lo define Douglas Hofstadter, un bucle extraño es un lazo de retroalimentación paradójica a nivel cruzado), que ponen de manifiesto los límites y las debilidades estructurales de construcciones lógicas (e incluso matemáticas) que parecían sólidas.

Ya hemos hablado, y más de una vez, de la paradoja del barbero, pero no está de más volver a hacerlo en este contexto. Si el barbero afeita a todos los habitantes de su pueblo que no se afeitan a sí mismos, ¿se afeita a sí mismo el barbero?

Y una apuesta “imperdible”: escribo en un papel una afirmación que solo puede ser verdadera o falsa, sin ambigüedades, y le digo a alguien que, aunque aparentemente tenga un 50% de probabilidades, no puede adivinar si la afirmación es cierta o no. ¿Qué he escrito en el papel?

Pero, en contra de lo que pensaba Bertrand Russell, hay extraños bucles paradójicos que no se basan en la autorreferencia. Como la paradoja de Yablo, inspirada en la del mentiroso y formulada por el filósofo Stephen Yablo en 1993. Tenemos una secuencia infinita de oraciones, cada una de las cuales afirma que todas las que le siguen son falsas. Si suponemos que una de las oraciones -la número N- es verdadera, entonces todas las que siguen son falsas, pues eso es lo que afirma N; pero como N+1 afirma que todas las que siguen son falsas y es falsa, al menos una de las siguientes es verdadera, con lo que N es falsa… ¿Una variante de la paradoja del mentiroso sin autorreferencia ni circularidad?

Carlo Frabetti

Escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York, ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’