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Cuadrado mágico de productos... solucionado

Hay ocho posibles soluciones, todas con los mismos números dispuestos en lugares diferentes, en las que el producto de cualquier fila, columna o diagonal da 3.375

Una solución al tercer desafío matemático de EL PAÍS (ver en el vídeo de la izquierda el planteamiento del problema y en el de la derecha la solución) es el cuadrado cuya primera fila está formada por los números 45, 25, 3; la segunda fila por los números 1, 15 y 225; y la tercera fila por los números 75, 9, 5. Los otros cuadrados que también son solución del problema (hay otros siete) son los que se obtienen como resultado de los giros y simetrías del cuadrado anterior. El ganador de una biblioteca matemática como la que cada semana se ofrece con EL PAÍS es Aritz Ojembarrena Saracho, de Las Rozas (Madrid). Enhorabuena.

Para el problema planteado por Javier Cilleruelo, profesor de la UAM y miembro del ICMAT, se han recibido más de 4.300 respuestas problema, casi el 90% de ellas correctas. Por motivos de protección de datos sólo publicamos el nombre del ganador, y una vez que nos hemos puesto en contacto con él. EL PAÍS celebra con esta iniciativa el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. El próximo problema se planteará hoy, en lugar del viernes, a petición de algunos centros educativos que quieren tener tiempo para analizar el desafío con los alumnos.

Una manera de llegar a la solución consiste en comenzar probando con lo más sencillo, que es suponer que uno de los ocho números que hay que colocar es el 1. Lo colocamos, por ejemplo, en el primer cuadradito de la segunda fila. Como el producto de los tres números de la segunda fila tiene que ser igual al producto de los tres de la tercera columna, deducimos que el producto de los dos números en las dos esquinas derechas tiene que ser 15 y eso sólo es posible si uno de ellos es el 3 y otro el 5. Pongamos por ejemplo el 3 arriba y el 5 abajo. Ahora, comparamos el producto de los números de la diagonal que contiene al 15 y al 3 con el producto de los números de la tercera fila para deducir que el número central de la tercera fila tiene que ser necesariamente el 9. Utilizando el mismo argumento con la otra diagonal y la primera fila, también llegamos a que el número central de la primera fila tiene que ser necesariamente el 25. Ya tenemos la segunda columna completa y como sabemos el producto de los tres números podemos terminar de completar el cuadrado sin ninguna dificultad. Si hubiéramos empezado colocando el 1 en una esquina, pronto nos habríamos encontrado en un callejón sin salida.

Los ocho cuadrados mágicos que son solución del problema provienen de elegir, por cada una de las cuatro opciones que tenemos para colocar el 1 en un cuadradito lateral, una de las dos opciones para colocar el 3 y el 5.

Otra manera más interesante de encontrar el cuadrado mágico se basa en observar que si tenemos dos cuadrados mágicos de productos, el cuadrado que resulta de ir colocando en cada posición el producto de los dos números que ocupan esa posición, es también un cuadrado mágico de productos. Así que, si multiplicamos dos cuadrados mágicos de productos, uno de ellos con el 3 en el centro, y el otro con el 5, obtendremos el cuadrado mágico que buscamos, siempre que lo hayamos hecho con cuidado para que los números que aparezcan en el cuadrado final sean distintos. Construir estos cuadrados mágicos auxiliares es muy sencillo y se pueden ver en el dibujo de la pizarra que aparece al final del video. Esta estrategia permite construir cuadrados mágicos de productos de enteros positivos distintos con otros números centrales.

Hay otras maneras de encontrar el cuadrado. La más natural para un matemático consiste en plantear las ecuaciones de productos que surgen del problema. Combinando las diferentes ecuaciones se llega fácilmente a que en un cuadrado mágico de productos, el producto de los números de cada fila, columna o diagonal, es el cubo del número central (de la misma manera que en un cuadrado de sumas, la suma de los elementos de cada fila es el triple del central).

Por lo tanto, el producto de los dos números extremos que aparecen en cada diagonal y en cada fila o columna que contienen al número central, debe ser 15x15=225. Como los divisores positivos de 225 son los números 1,3,5,9,15,25,45,75 y 225, serán éstos los números que formen nuestro cuadrado, una vez situados de la forma adecuada.

La manera en que cada lector haya llegado a la solución es muy difícil de valorar porque habrá dependido de las herramientas matemáticas de las que cada lector dispone. El mismo mérito tienen aquellos lectores que, con poca formación matemática, hayan llegado a la solución por tanteo, que aquellos que lo hayan deducido después de plantear las ecuaciones adecuadas. Esta es la razón por la que no se ha pedido una explicación de cómo se ha encontrado el cuadrado y no que no nos parezca que lo más interesante en la resolución de un problema sea la manera en la que se resuelve.