Vida (matemática) de una gota

Es posible que este artículo lo esté leyendo en una piscina. Quizás se acerque a usted un gracioso bañista y mientras está absorto en su lectura, le salpique con una pistola de agua. Si está usted cerca de la pistola, habrá recibido un chorro, y si estaba lejos, habrán sido unas gotas. ¿En qué punto la masa de agua pasa de una forma a otra? ¿Por qué decide un chorro de agua dividirse en gotitas esféricas? ¿Por qué no se forman gotas cúbicas o poliédricas? El chorro se rompe en busca de un estado de mínima energía, y resulta que la esfera es la configuración que, para un volumen dado, tiene mínima superficie. En el caso del agua, la energía se asocia a las fuerzas de tensión superficial, introducidas por Simon Laplace y Thomas Young a principios del siglo XIX, y que hacen por ejemplo que una aguja cuidadosamente depositada sobre el agua no se hunda. Y esta energía es proporcional al área que encierra el fluido. Cuanto menor área, menos energía.

Pero, ¿cómo se pasa del chorro cilíndrico a las gotas? Esta transición implica la desconexión de las últimas a través de un proceso un tanto traumático en el que cantidades geométricas, como la curvatura, y físicas, como la velocidad del fluido, crecen enormemente. Cuando ocurre la desconexión se forma una singularidad. La naturaleza de esta singularidad sólo pudo ser descrita en 1993, mediante una combinación de técnicas analíticas y numéricas. El cuidadoso análisis matemático de las singularidades es de gran ayuda a la comprensión del fenómeno, ya que los métodos numéricos que se emplean de forma generalizada para resolver de los problemas de mecánica de fluidos, fallan o dejan de ser fiables en ellas.

Estas cuestiones han alcanzado un gran interés en los últimos tiempos debido a la aparición de técnicas de “electrónica impresa”, con las que producir dispositivos, como pantallas y células solares, flexibles y de muy bajo coste. La idea principal es construir los elementos del circuito eléctrico mediante la deposición de gotas, que se separan de chorros producidos por pequeños eyectores. Es necesario conocer y controlar los procesos descritos arriba para producir gotas del tamaño preciso y, sobre todo, evitar la aparición de secuencias de gotitas de tamaños indeseados, llamadas gotas satélite, que son bastante comunes en la mecánica de fluidos. Las gotas satélite se presentan a menudo formando estructuras iteradas, es decir, cada satélite está rodeado de subsatélites más pequeños, que tienen a su vez sus propios subsatélites, parecidas a las de un conjunto de estructura fractal, el llamado conjunto de Cantor. El año pasado propusimos una explicación de la tendencia natural hacia la generación de dichas estructuras, con vistas a su supresión en las aplicaciones.

Una vez las gotas alcanzan la superficie a imprimir, su energía cinética se emplea en extenderlas paralelamente a la superficie, donde quedan depositadas ocupando una cierta región. Es fundamental conocer el tamaño y forma de la misma, en términos de la velocidad de la gota, viscosidad del fluido, etc. El proceso de choque con la superficie involucra de nuevo la formación de singularidades, asociadas al brusco cambio de dirección de la velocidad de las partículas de la gota. En 2010, tras enormes esfuerzos teóricos, numéricos y experimentales, se consiguieron fórmulas cerradas para determinar el tamaño y forma de la gota. Una de las aplicaciones más curiosas de estas fórmulas es en ciencia forense: hoy en día es posible determinar detalles como la ubicación y posición de la víctima de un crimen a partir de la forma de las salpicaduras de sangre.

Volvamos a las pantallas flexibles. Finalmente, la gota depositada se seca mediante evaporación. Lo normal es que las gotas lleven materiales activos (semiconductores, por ejemplo) en disolución. Uno desearía que cuando la gota se seque, dichos materiales queden distribuidos de la forma más homogénea posible para evitar imperfecciones que afecten al rendimiento del dispositivo. Normalmente, no es el caso, debido al problema llamado “de la mancha de café”: cuando la gota se seca, las partículas tienden a concentrarse en el borde formando un anillo característico, que cualquiera puede observar derramando un poco de su próximo café. De nuevo, esto tiene que ver con singularidades que se generan en el borde que hacen que haya un flujo muy elevado de partículas hacia él. El conocimiento y control del fenómeno, con vistas a evitarlo, es otra área muy activa de investigación en estos momentos.

Esta pequeña sucesión de dramas, en forma de singularidades, por los que atraviesa la gota ilustra bastante bien el trabajo en matemática aplicada: partiendo de problemas del mundo real, usamos la artillería analítica y numérica a nuestro alcance para aportar información, técnicas y métodos que puedan ayudar a la comprensión de los fenómenos involucrados. En esta interacción entre matemáticas y aplicaciones es fundamental el contacto continuo con ingenieros y experimentalistas que, aparte de dar pistas para los estudios teóricos y sugerir cuestiones de interés, nos permiten contrastar nuestras conclusiones con lo que ocurre en la realidad e ir así afinando y mejorando los modelos matemáticos.

Marco Fontelos es investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)