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Réquiem por el último matemático universal

Henri Poincaré, que murió el 17 de julio de 1912, abrió el camino para las teorías modernas del caos, los sistemas dinámicos y la topología algebraica

El matemático francés Henri Poincaré (1854-1912).
El matemático francés Henri Poincaré (1854-1912).

Jules Henri Poincaré, nacido en Nancy (Francia) en 1854 y fallecido en París en 1912, es habitualmente considerado el último matemático universal, es decir, la última persona capaz de comprender todas las matemáticas de su tiempo. Sus contribuciones abarcan desde la teoría de funciones analíticas hasta las ecuaciones diferenciales, pasando por la geometría diferencial y la física matemática. Sus trabajos abrieron el camino para las teorías modernas del caos, de los sistemas dinámicos, y la topología algebraica.

Sus ideas han sido una guía fundamental para las matemáticas contemporáneas. Entre ellas destaca la célebre conjetura que afirma que la esfera es el único espacio compacto en el que toda curva se puede contraer a un punto. Esta conjetura inspiró toda una serie de revoluciones en geometría y topología a lo largo de la segunda mitad del siglo XX llevadas a cabo por John Milnor, Stephen Smale, William Thurston, Michael Freedman y Richard Hamilton. Y fue finalmente probada a comienzos del siglo XXI por el matemático Grigori Perelman.

Uno de los temas recurrentes en el trabajo de Poincaré es la mecánica celeste, concretamente el conocido como problema de los tres cuerpos. Este estudia el movimiento de tres cuerpos, cuyas masas se atraen siguiendo la fuerza de la gravedad, tal y como determinó años antes el británico Isaac Newton. Newton se valió de nuevas herramientas matemáticas que desarrolló para la ocasión, y que ahora llamamos cálculo diferencial, para calcular las trayectorias de los dos cuerpos determinadas por la gravedad. Newton probó que las trayectorias son elípticas cuando están acotadas -como la Tierra cuando orbita alrededor del Sol- y parabólicas e hiperbólicas, dependiendo de su energía, en el caso de que el movimiento de los cuerpos no está confinado, como un cometa que pasa cerca de la Tierra para perderse posteriormente en el espacio.

Si los cuerpos que interaccionan no son dos sino tres, las ecuaciones que rigen su movimiento se complican enormemente. Poincaré entendió muy pronto que este problema, el de “los tres cuerpos”, no se podía resolver de forma explícita, y que era necesaria una nueva teoría para entender el comportamiento de este tipo de ecuaciones. Este nuevo paradigma, que dio lugar a multitud de herramientas nuevas de análisis, topología y geometría, forma el núcleo de los tres volúmenes de Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, publicados en 1892, 1893 y 1899 respectivamente. Con un total de casi 1300 páginas, esta obra monumental constituye el origen de la teoría moderna de los sistemas dinámicos y sigue siendo una fuente de inspiración para investigadores. El trabajo de Poincaré es un claro antecedente de teorías mucho más modernas, como la influyente teoría KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) y la dinámica ergódica e hiperbólica.

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste es una ampliación sustancial de la memoria “Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique”, que Poincaré publicó en 1889 y que fue ganadora del premio concedido por el rey Óscar II de Suecia y Noruega por motivo de su 60 cumpleaños, a quien resolviera el problema de los tres cuerpos. La memoria de Poincaré no resolvía el problema, pero demostró que los métodos tradicionales, que se basan en la existencia de suficientes cantidades conservadas, no pueden funcionar, pues no existe ninguna cantidad conservada distinta de la energía y del momento. De hecho, en pleno siglo XXI, el problema de los tres cuerpos (o de n cuerpos, en general) sigue siendo un gran desafío para los investigadores en matemáticas que verdaderamente pretenden hacer avanzar esta ciencia.

Albert Einstein, cuando ya era un famoso físico en EE UU, en 1947.
Albert Einstein, cuando ya era un famoso físico en EE UU, en 1947.

Pese a todo, el jurado reconoció la enorme diversidad de nuevas ideas y técnicas que aportaba a la mecánica celeste (entre otras cosas daba el primer ejemplo de sistema caótico). También se anticipó a la formulación de la relatividad especial de Einstein. Si bien su interpretación física no fue correcta, ya que nunca abandonó el concepto de éter, Poincaré formuló el principio de relatividad y las ecuaciones de transformación de los sistemas inerciales relativistas basándose en el trabajo previo desarrollado por Lorentz. De hecho, llegó a obtener la célebre ecuación de Einstein E = mc2 varios años antes que este, si bien nunca consiguió desentrañar su profundo significado físico.

Pese a ello sus reflexiones sobre el universo resultan apasionantes, al igual que sus libros sobre filosofía de la ciencia, llamados Ciencia e hipótesis y Ciencia y método, donde realiza un análisis profundo sobre el proceso que lleva al descubrimiento matemático y creativo. El matemático francés Jean Dieudonné calificó el estilo de Poincaré como imaginativo (cada obra contiene una idea nueva), y destacó su potente intuición, que rara vez le fallaba. Sin embargo, anteponía la originalidad al rigor, de modo que sus definiciones podían ser no del todo precisas, y sus demostraciones eran en ocasiones incompletas. Lo cual no es necesariamente malo, como prueba la importancia y profundidad de las contribuciones del matemático francés.

Alberto Enciso y Daniel Peralta son investigadores del ICMAT.

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