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Los tres toreros de las matemáticas: así es la teoría KAM

Es muy difícil saber si la órbita terrestre está confinada dentro de un toro invariante o por el contrario sigue un curso caótico

El diestro colombiano Luis Bolívar, durante la pasada Feria de San Isidro.
El diestro colombiano Luis Bolívar, durante la pasada Feria de San Isidro. EFE

Llegó a la orilla el más antiguo toro,

a la orilla del tiempo, del océano

Pablo Neruda. El toro

Aprovechando el cierre de la feria taurina de San Isidro, vamos a hablar de toros. Aunque muchas personas lo desconozcan, la palabra toro en castellano tiene dos acepciones: la primera, del latín tauros, se refiere al macho bovino adulto; símbolo del carácter poético y vital español para algunos, mártir en un bárbaro festejo para otros. La segunda acepción, proveniente del latín torus, define la superficie de revolución engendrada por una circunferencia que rota alrededor de un eje de simetría contenido en su mismo plano y exterior a la circunferencia.

Los tres toreros de las matemáticas: así es la teoría KAM

Este volumen geométrico tiene forma de una inofensiva rosquilla, y es el objeto con el que lidia la teoría KAM, uno de los hitos matemáticos del pasado siglo XX y la mayor aportación al estudio de los sistemas dinámicos desde los trabajos del matemático y físico Henri Poincaré en mecánica celeste a finales del XIX. La teoría recibe su nombre de los tres matemáticos que la descubrieron: Andréi Kolmogorov, Vladímir Arnold y Jürgen Moser (KAM). Como en un festejo taurino, estos tres matemáticos lucharon contra sus toros geométricos.

En 1954, durante el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Ámsterdam, Kolmogorov (Moscú, 1903-1987) saltó al ruedo para exponer una nueva y sorprendente teoría, que estudiaba la estabilidad de ciertos sistemas dinámicos similares al sistema solar. Cincuenta años antes, Poincaré había señalado que en sistemas de tres o más cuerpos celestes era muy complicado predecir con exactitud la trayectoria que seguiría cada uno, debido a las interacciones gravitacionales. Sin embargo, Kolmogorov afirmó que, aunque no podamos resolver explícitamente las ecuaciones que rigen el sistema de manera global, la mayor parte de la dinámica resiste pequeñas perturbaciones, y es, por tanto, predecible. Esta afirmación podría explicar la estabilidad de las órbitas de los planetas, y que el sistema solar permanezca siempre tal y como lo conocemos. En los años posteriores, Arnold (Odesa, 1937-2010), que también estudió en Moscú, y Moser (Königsberg, 1928-1999), de la escuela alemana y posterior profesor del MIT en EEUU, recibieron la alternativa de Kolmogorov para proseguir con el desarrollo de la teoría KAM.

La teoría KAM estudia sistemas dinámicos próximos a serintegrables. Decimos que un sistema físico es integrable si las ecuaciones que lo modelizan pueden resolverse. Por el contrario, un sistema no es integrable si no tenemos “suficientes pistas” para encontrar fórmulas explícitas que determinen su evolución. En mecánica celeste, el modelo clásico de dos cuerpos orbitando uno en torno al otro, es un sistema integrable, por ejemplo, el sistema Tierra-Sol viene descrito por las órbitas elípticas de la tierra frente al sol, y viceversa. Sin embargo, un tercer cuerpo añadido al modelo, como la Luna, introduce perturbaciones muy difíciles de predecir de manera precisa en periodos largos de tiempo (millones de años).

Las ecuaciones de este tipo de sistemas se formulan en el denominado espacio de fases, que está descrito por el conjunto de cada posición posible del sistema (configuración) y cada momento (una variable física relacionada con la velocidad). Cuando el sistema es integrable, el espacio de fases está dividido en regiones con forma de toro, y éstos son invariantes bajo el régimen dinámico. Esto quiere decir que la órbita del sistema estará confinada en uno de los toros geométricos, sin abandonarlo. Además, esta órbita es aproximadamente periódica, en el sentido de que tras un intervalo de tiempo, la órbita vuelve a pasar cerca de la posición que ocupaba antes, pero no necesariamente la misma. A estas trayectorias se les denomina órbitas cuasiperiódicas. He aquí, pues, la cuestión fundamental de la teoría KAM: si se perturba un sistema integrable ligeramente (por ejemplo, añadiendo otro cuerpo relativamente pequeño), algunos de estos toros se deformarán junto con sus órbitas cuasiperiódicas, pero sobrevivirán a la perturbación, mientras que otros serán destruidos dando lugar a dinámicas caóticas.

En el caso de nuestro sistema solar, es muy difícil saber si la órbita terrestre está confinada dentro de un toro invariante o por el contrario sigue un curso caótico. Los cálculos numéricos basados en la física clásica de Newton no descartan comportamientos caóticos de la Tierra para intervalos de pocos cientos de millones de años. Sin embargo, simulaciones numéricas realizadas a partir de la Relatividad General auguran una mayor estabilidad. Todo apunta a que durante los cinco mil millones de años de vida que, aproximadamente, le quedan al Sol, el sistema solar permanecerá relativamente tranquilo. En términos celestes, parece que habitamos la piel de un toro.

Cristina Sardón Muñoz y Víctor Arnaiz Solórzano son investigadores del ICMAT.

Edición: Ágata Timón (ICMAT).

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

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