Cuando ir en coalición puede ser una pésima idea

Ya hay solución para el tercer y último de los desafíos matemáticos electorales presentado por EL PAÍS y la Real Sociedad Matemática Española. Angélica Benito Sualdea y Adolfo Quirós Gracián, profesores de la Universidad Autónoma de Madrid, propusieron el desafío y nos dan ahora la solución.

Recordemos que se trataba de decidir si, cuando se usa el método de Sainte-Laguë, y asumimos la hipótesis (quizás poco realista) de que, si dos partidos se presentan en coalición, recibirán los mismos votos que recibirían los partidos individualmente, entonces la coalición puede obtener los mismos escaños, ganar escaños o perder escaños con respecto a la suma de los que habrían logrado por separado.

La respuesta, que han dado correctamente prácticamente todos los lectores que han enviado soluciones en el plazo indicado, es que los tres escenarios son posibles. Vamos a dar un ejemplo de cada caso, considerando siempre 3 partidos que se reparten 5 escaños y una posible coalición de los dos partidos con más votos.

Empezamos con un ejemplo en el que la coalición obtiene los mismos escaños que los partidos por separado. Los partidos reciben 200, 200 y 72 votos. Recordemos que se divide entre los números impares (aunque no escribimos todos los cocientes porque no son necesarios).

Cuando se presentan por separado, los mayores cocientes son 200, 200, 72, 66,6 y 66,6, y los partidos obtienen respectivamente 2, 2 y 1 escaños.

Sin embargo, si los dos partidos mayores se coaligan y obtienen 400 votos, los cocientes son ahora 400, 133,3, 80, 72 y 57,14 y por tanto la coalición logra 4=2+2 escaños, los mismos que si los partidos se presentan por separado.

Damos ahora un ejemplo en el que la coalición obtiene más escaños que los partidos por separado. Los partidos reciben 190, 190 y 40 votos.

Si se presentan por separado, los mayores cocientes son 190, 190, 63,3, 63,3 y 40, y los partidos obtienen respectivamente 2, 2 y 1 escaños.

Pero si los dos partidos mayores se coaligan, obtienen 380 votos y resulta que tenemos

Ahora 380/9=42,22… >40, y por tanto, la coalición se lleva los 5 escaños, dejando al partido pequeño sin ninguno.

Por último, un ejemplo en el que la coalición obtiene menos escaños que los partidos por separado. Los partidos reciben 210, 210 y 190 votos.

Como en los dos ejemplos anteriores, por separado los partidos obtienen respectivamente 2, 2 y 1 escaños, porque los mayores cocientes son 210, 210, 190, 70 y 70.

Esta vez, si los dos partidos mayores se coaligan obtienen 420 votos, y la tabla resultante es

Los mayores cocientes son ahora 420, 190, 140, 84, y 63,33, que es mayor que 60, de modo que la coalición logra sólo 3 escaños.

Los ejemplos los hemos obtenido haciendo un poco de matemáticas. Veamos por ejemplo el último (los demás son similares).

Buscamos repartir 5 escaños entre 3 partidos con V, V y U votos. Suponemos

V > U

y queremos que el reparto sea 2-2-1. Debe ser entonces

U > V / 5

para que ninguno de los partidos grandes se lleve 3 escaños, que es a lo que corresponde dividir entre 5, y por tanto

5 x U > V

Queremos ahora que, si los dos partidos grandes se coaligan, el pequeño le arrebate un escaño. Para eso debe ser

U / 3 > 2 x V / 7

Es decir,

U > 6 x V / 7

Poniendo todo junto, queremos que

5 x U > V > U > 6 x V / 7

Basta tomar v=210 y u=190 para que se cumplan todas las condiciones y tener nuestro ejemplo.

Parece que este desafío ha resultado más difícil que los anteriores y solo se han recibido 40 respuestas (eso sí, procedentes, como de costumbre, de diversos países). A cambio, muchas de ellas son especialmente interesantes. No podemos mencionar todas, pero, a modo de ejemplo:

- Julio M. y Carmen Z. demuestran (independientemente) que, si bien la coalición de dos partidos puede perder escaños, nunca puede perder más de uno.

- Aitor S. da una representación gráfica completa de cuándo se produce cada una de las tres situaciones.

- Xabier L. presenta lo que quizás sea la solución mínima: con sólo 9 votantes y 3 escaños consigue dar ejemplos en los que la coalición gana, pierde o consigue los mismos escaños que los partidos por separado.

- Martí J. ha dado ejemplos que no son artificiales (como los nuestros y los de todos los demás lectores), sino sacados de los resultados reales de las elecciones del pasado 28 de abril. Siempre usando Sainte-Laguë, nos muestra que, en Navarra, la coalición UPN-PP-C's habría obtenido un escaño más que si, como en 2016, UPN-PP hubiesen ido por un lado y C's por otro (hace la hipótesis, razonable para lo que nos interesa, de que los votos de 2018 se habrían repartido entre ambas candidaturas en la misma proporción que en 2016). En Girona, una coalición de ERC y JxCat no habría mejorado los resultados de los dos partidos por separado. Por último, una "Gran Coalición Canaria" entre CC y NCa en la provincia de Las Palmas habría resultado una mala idea, ya que habrían obtenido un escaño menos que si no se hubiesen coaligado (¡lo que nunca puede suceder con D'Hondt!).

Este alarde de capacidad para buscar información interesante hace a Martí J. merecedor de recibir, como regalo de la RSME, el libro Soluciones ¡Ajá!, de Martin Erickson , que forma parte de la Biblioteca Estímulos Matemáticos que la sociedad publica conjuntamente con Editorial SM.

Pero además, para premiar su fidelidad, la RSME ha seleccionado también a tres de las 17 personas que han resuelto correctamente los tres desafíos, y enviará a cada una un ejemplar de Déjame contarte, de Günter M. Ziegler, otro de los títulos de la mencionada Biblioteca Estímulos Matemáticos. Los agraciados son Javier D., Pilar R. y Germán S.

Confiamos en que hayáis disfrutado con esta serie de desafíos matemáticos electorales y os esperamos en la siguiente ocasión.