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El malévolo gobernador que diseñaba a su antojo las circunscripciones

EL PAÍS y la Real Sociedad Matemática Española presentan el primero de los tres desafíos con los que retan a los lectores en esta doble campaña electoral

Aprovechando que en los próximos meses los españoles tendremos que ir a votar varias veces, EL PAÍS y la Real Sociedad Matemática Española presentarán una serie de desafíos matemáticos relacionados con los sistemas electorales. Los retos estarán a cargo de Angélica Benito Sualdea y Adolfo Quirós Gracián, profesores de Matemáticas en la Universidad Autónoma de Madrid. El primer desafío trata del diseño de las circunscripciones. Puedes enviar tu respuesta hasta las 00.00 del jueves 11 de abril (hora peninsular española) a problemamatematicas@gmail.com.

La Constitución indica que en España las circunscripciones electorales son las provincias y las Ciudades Autónoma de Ceuta y Melilla. Esta división tiene una cierta raigambre y no es manipulable, incluso si como consecuencia de las variaciones de población, el número de diputados a elegir en cada provincia cambia, como va a suceder en las elecciones generales de 2019 (Madrid y Barcelona elegirán 37 y 32 respectivamente, cuando en 2016 habían elegido 36 y 31, mientras que Valencia y Asturias pasaron de 16 y 8 diputados a 15 y 7).

Por el contrario, en países donde en cada distrito se elige un solo representante hay que rediseñar los distritos cada vez que varía la población. En Estados Unidos, por ejemplo, se dibujan los distritos cada 10 años, cuando se hace un nuevo censo. Aunque se hace teniendo en cuenta la geografía (que, para simplificar, será geometría para nosotros), eso otorga un gran poder al órgano responsable de hacer el diseño, y puede dar lugar a manipulaciones y al fenómeno conocido como Gerrymandering, del que este mismo diario ha mostrado el sencillo ejemplo siguiente.

Imaginemos un estado compuesto por 25 personas que debe elegir a cinco representantes entre dos partidos: el verde y el azul. El 60 % de la población vota al verde y, el 40 %, al azul. En la primera imagen, el trazo de los cinco distritos electorales hace que el partido verde obtenga tres representantes y el partido azul dos, siendo el número de representantes de cada partido proporcional al voto. Sin embargo, en el segundo diseño el partido verde se lleva los cinco representantes y en el tercer ejemplo solo dos, a pesar de tener la mayoría.

El malévolo gobernador que diseñaba a su antojo las circunscripciones

Nuestro desafío, o desafíos, porque son dos, proponen una situación similar, ahora con 225 votantes, 120 favorables al partido ocre y 105 al partido gris (elegimos estos colores para evitar identificaciones con partidos realmente existentes). Hay que diseñar 15 distritos -que elige cada uno un representante- cada uno de los cuales tenga 15 electores (cada cuadrado representa a un elector). El único requisito para diseñar los distritos es que los 15 electores de cada uno de ellos tienen que formar un continuo. Es decir, un distrito no puede tener 2 trozos, aunque admitimos que 2 electores se toquen sólo por una esquina. El encargado de diseñar los distritos es un malévolo Gobernador, que pertenece al partido gris, y por tanto está interesado en que los grises obtengan el mayor número de escaños posible.

¿Cuál es ese número máximo de escaños grises si los votantes están ordenados como en este cuadro?

El malévolo gobernador que diseñaba a su antojo las circunscripciones

 ¿Y si la distribución fuese esta?

El malévolo gobernador que diseñaba a su antojo las circunscripciones

En cada uno de los dos casos hay que indicar un mapa de distritos con el que los grises obtengan los representantes que se diga, y explicar rigurosamente por qué no se puede dibujar un mapa con el que obtengan más.

Si lo deseas, aquí puedes ver los desafíos matemáticos publicados desde que se creó la sección 2011.

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