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La superelipse de Hein

La circunferencia es un caso particular de la elipse, que a su vez es un caso particular de la superelipse

Escultura basada en la superelipse de Hein.
Escultura basada en la superelipse de Hein.

La partida de Hex sobre un tablero reducido de 5 x 5 que vimos la semana pasada no era verosímil, pues en la jugada anterior las negras podrían haber impedido que se completara la cadena de las blancas a la vez que creaban una posición ganadora.

Es fácil encontrar una estrategia ganadora para el primer jugador en tableros reducidos. Por ejemplo, en el tablero de 5 x 5 el primer jugador gana fácilmente ocupando la casilla central en su jugada inicial (aunque no de la forma que se ve en el ejemplo de la semana pasada). Pero en el tablero de 11 x 11 hay un número tan astronómicamente grande de posibilidades que no se conoce una estrategia ganadora. Sin embargo, en 1949 John Nash, que al parecer reinventó el juego independientemente de Piet Hein, demostró que tal estrategia tiene que existir; resumido (la demostración rigurosa es algo más complicada), su razonamiento es el siguiente: supongamos que el segundo jugador tiene ventaja; en ese caso, el primer jugador no tiene más que hacer una jugada inicial irrelevante y luego adoptar la estrategia del segundo, puesto que una ficha propia de más en el tablero no puede ser un inconveniente.

John Nash pasea por la plaza del Obradoiro, en Santiago de Compostela, en 2007.
John Nash pasea por la plaza del Obradoiro, en Santiago de Compostela, en 2007.

La “prueba de existencia” de Nash parte del supuesto de que uno de los jugadores ha de ganar necesariamente, y, de hecho, el empate es inconcebible en la práctica; pero ¿es teóricamente imposible?

De la superelipse al superhuevo

Como es bien sabido, la circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro, que es el centro. Y en el caso de la elipse, es la suma de distancias a otros dos puntos, llamados focos, lo que permanece constante para todos los puntos de la curva.

La fórmula de la elipse es x2/a2 + y2/b2 = 1. Si a = b, la fórmula se convierte en x2 + y2 = a2, y la elipse, en una circunferencia de radio a. Y del mismo modo que la circunferencia se puede considerar un caso particular de la elipse, podemos considerar que la elipse es un caso particular de una familia de curvas de la forma xn/an + yn/bn = 1. De hecho, así lo consideró el matemático francés Gabriel Lamé, que dio nombre a estas curvas (también llamadas superelipses) y las estudió a mediados del siglo XIX.

Cien años después, el escritor e ingeniero danés Piet Hein, el inventor del Hex, estudió una curva de Lamé en particular: la de exponente n = 2.5, con a = 4 y b = 3, y la aplicó al diseño de mesas y otros muebles, así como al trazado de una rotonda en una plaza rectangular de Estocolmo. La elipse convencional parecería la primera opción, por una sencilla regla de tres: circunferencia es a cuadrado como elipse a rectángulo. ¿Qué ventaja tiene la superelipse de Hein sobre la elipse? ¿Qué ocurre a medida que aumenta el exponente n?

Haciendo girar su superelipse alrededor de su eje mayor, Hein obtuvo un interesante superelipsoide, denominado “superhuevo”, que ha sido reproducido a muy distintos tamaños, como objeto de regalo y como escultura, y que posee una sorprendente propiedad que no comparte con su primo el elipsoide de revolución. ¿Cuál?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.

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