Números de Bell

Como vimos, nuestras tres amigas viajeras de la semana pasada podían ir en uno, dos o tres coches de cinco maneras distintas. Si hubiera una amiga más, podrían ir cada una en su coche (A-B-C-D), las cuatro juntas (ABCD), dos juntas y las otras dos separadas de seis maneras distintas (AB-C-D, AC-B-D, AD-B-C, BC-A-D, BD-A-C, CD-A-B), dos en un coche y dos en otro de tres maneras distintas (AB-CD, AC-BD, AD-BC) o una en un coche y tres en otro de cuatro maneras distintas (A-BCD, B-ACD, C-ABD, D-ABC), en total, 1 + 1 + 6 + 3 + 4 = 15 posibilidades.

Si las amigas son cinco, las posibilidades son 52, y si son seis, 203. Los sucesivos términos crecen rápidamente, y si incluimos los casos de una sola viajera (1 posibilidad) y de dos viajeras (2 posibilidades: ambas en el mismo coche o cada una en el suyo), la secuencia es la siguiente: 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147…

Cada término de esta sucesión es el número de particiones de un conjunto de n elementos, entendiendo por particiones las distintas maneras en que el conjunto se puede dividir en subconjuntos complementarios, es decir, sin elementos comunes y cuya unión es el conjunto completo (como en el caso de las amigas viajeras). Un conjunto de un elemento solo admite una partición. Un conjunto de dos elementos admite dos particiones distintas: los dos juntos o cada uno por separado. Un conjunto de tres elementos admite cinco particiones, como hemos visto en el caso de las tres amigas, y así sucesivamente.

El número de particiones de un conjunto se denomina número de Bell, en honor del matemático y escritor escocés Eric Temple Bell, a quien los aficionados a la ciencia ficción tal vez conozcan más por su seudónimo John Taine, autor de clásicos del género como El zafiro púrpura y Semillas de vida. El número de Bell se suele expresar mediante la letra B con un subíndice que indica el número de elementos del conjunto correspondiente; así, B₁ = 1, B₂ = 2, B₃ = 5… La sucesión de los números de Bell suele empezar con dos unos: 1, 1, 2, 5, 15…, porque también se contempla el caso del conjunto vacío, B₀ = 1.

Un número compuesto, por definición, se puede descomponer en primos y, por tanto, expresar como producto de varios números enteros; si solo tiene dos divisores (distintos de sí mismo y de la unidad), esta expresión es única; por ejemplo, 21 = 3 x 7 (además de la trivial 1 x 21). Pero si un número tiene más de dos divisores, se puede expresar como producto de otros números de distintas maneras, además de la consabida descomposición en factores primos; por ejemplo, 66 = 2 x 3 x 11 = 6 x 11 = 2 x 33…

¿De cuántas maneras distintas se puede expresar como producto de varios números (enteros, se entiende) el número 210? ¿Y el 2.310? ¿Tienen algo que ver estas factorizaciones con lo visto anteriormente?

Invito a mis sagaces lectoras/es a examinar la interesante y versátil sucesión de los números de Bell y a compartir sus conclusiones.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.