Solución al desafío matemático de la Lotería de Navidad: Yoda y la prueba del 9
Todos los números salvo el 0 tienen la misma probabilidad de obtener el Gúgol-reintegro
Ya hay solución para el desafío matemático extraordinario de Navidad presentado por EL PAÍS y la Real Sociedad Matemática Española con motivo del sorteo de la lotería. Adolfo Quirós Gracián, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y director de La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española presentó el desafío, y nos da ahora la solución.
Recordemos que el desafío era doble: por qué se llama Gúgol Lotería y cuál es la probabilidad que tiene cada número de obtener un Gugol-reintegro, que puede o no ser la misma para todos.
El motivo por el que se llama Gúgol Lotería es simple: participan 10^100 (1 uno seguido de 100 ceros; usaremos ^para indicar una potencia) números, y 10^100 se llama un Gúgol. Por cierto, parece que Google es una forma errónea de deletrear Googol, que es como se escribe Gúgol en inglés.
Aclarada la cuestión lingüística, que han resuelto correctamente casi todos los participantes, el verdadero desafío matemático es dar la probabilidad que tiene cada número de obtener el Gúgol-reintegro.
El 0 (100 ceros) nunca puede obtener el Gúgol-reintegro, porque es el único número con Gúgol-dígito 0. Veamos qué pasa con los 10^100-1 números restantes.
Muchos lectores recordarán una regla para saber si un número es divisible exactamente entre 9: lo es cuando lo que hemos llamado su Gúgol-dígito es precisamente 9. Quizás no tantos sepan que se puede decir algo más general: para cualquier número, su Gúgol-dígito es el resto que obtenemos al dividirlo entre 9 (con la pequeña salvedad de que, en lugar de restos entre 0 y 8 los tendremos entre 1 y 9). Por ejemplo, si miramos el 123 su Gúgol-dígito es 6, y resulta que 123 entre 9 cabe a 13 y sobran, por supuesto, 6. Esto pasa siempre, y es el motivo por el que funciona "la prueba del 9", que tan bien conocemos los que aprendimos a hacer cuentas antes de que existiesen las calculadoras.
Como esta observación sobre la relación entre el Gúgol-dígito y la división entre 9 es fundamental para resolver el desafío, la demostraremos (al fin y al cabo, estamos en un desafío matemático), pero escribiéndola sólo para números de 4 cifras, digamos abcd.
Si recordamos que d son la unidades, c las decenas, etc., y dividimos entre 9, tendremos un cociente Q y un resto R:
abcd=a x 1000+b x 100+c x 10+d=9 x Q+R
Dividimos también entre 9 la suma de los dígitos, obteniendo de nuevo un cociente q y un resto r:
a+b+c+d=9 x q+r
Si restamos estas dos igualdades resulta
a x 999+b x 99+c x 9=9 x (Q-q)+R-r,
o lo que es lo mismo,
R-r=9 x (a x 111+b x 11 +c +q-Q),
de modo que la diferencia de los restos, R-r, es múltiplo de 9. Pero como R y r están entre 0 y 8, debe ser R-r=0 . Es decir, R=r: los restos correspondientes al número y a la suma de sus cifras coinciden. Si repetimos hasta llegar a un solo dígito, el Gúgol-dígito, este tiene que ser el resto al dividir entre 9 el número original, salvo que el Gúgol-dígito será 9, y no 0, si el número es divisible entre 9.
Como consecuencia, obtienen Gúgol-reintegro los números que dan el mismo resto que el Gordo al dividirlo entre 9. Esto clasifica a los números que nos interesan en 9 clases, cada una con
(10^100-1)/9=1111…1111 (100 unos en total) elementos.
Como el Gordo no recibe Gúgol-reintegro, los casos favorables son 1 menos, y por tanto la probabilidad (casos favorables entre casos posibles) de que un número distinto del 0 reciba un Gúgol-reintegro es (pedimos disculpas por la profusión de paréntesis)
(((10^100-1)/9)-1)/10^100=(1111…1111-1)/10^100=1111…1110/10^100=0,1111…1111 (99 unos en total).
En particular vemos que todos los números, salvo el 0000…0000, tienen la misma probabilidad de obtener el Gúgol-reintegro. Xabier L. C sugiere que, para compensar esta flagrante injusticia, en caso de salir el 0 gane no sólo el Gordo, sino también todo el dinero originalmente asignado a Gúgol-reintegros. De ese modo la ganancia esperada de todos los números volverá a ser la misma.
Obsérvese también que en el denominador (casos posibles) sí incluimos el 0 porque, aunque no puede ganar el Gúgol-reintegro, sí puede ser el número que salga como Gordo.
A pesar del poco tiempo del que los lectores han dispuesto este año para enviar sus soluciones (pedimos disculpas por ello), se han recibido en el plazo marcado más de 380, procedentes no sólo de España, sino también de diversos países europeos (Alemania, Francia, República Checa, Reino Unido, Suiza) y americanos (Chile, Estados Unidos, México). Javier C., que debe ser quién dobla a Yoda, nos ha remitido su solución en impecable idioma de Tatooine, que por suerte hemos podido traducir.
Aproximadamente un 6% de las respuestas son incompletas, en general porque han señalado que no todos los números tienen la misma probabilidad de ganar el Gúgol-reintegro, pero no han dicho cuáles son las probabilidades. Aproximadamente un 24% se han despistado y han dado respuestas erróneas. Y hay un 15% que han dado con las probabilidades exactas.
Se preguntarán los lectores qué pasa con el 55% restante. Pues que han dado respuestas casi correctas. Tan "casi" que creemos que ningún instrumento terrestre de medida podría detectar la diferencia. Pero las matemáticas sí pueden y, atendiendo al espíritu lúdico pero riguroso de los desafíos, tienen medalla de plata, pero no de oro.
Los dos despistes mayoritarios entre los "casi" han sido:
- Olvidarse de que el Gordo no gana el Gúgol-reintegro y decir que el 0 tiene probabilidad 1/10^100 y los demás 0,1111…1111 con 100 unos, no con 99.
- Olvidarse de que el 0, aunque no puede ganar el Gúgol-reintegro, sí puede ser el Gordo, y no hay que quitarlo del denominador.
Una respuesta muy frecuente, que los números distintos del 0 tienen probabilidad 1/9, combina ambos errores: considera un caso favorable más y un caso posible menos, con lo que se obtiene
(((10^100)-1)/9)/(10^100-1)=1/9.
¿Por qué no decimos simplemente que está mal? Pues porque todos esos lectores se han dado cuenta de que el Gúgol-dígito se correspondía de algún modo con el resto al dividir entre 9, que era el mensaje matemático que querían transmitirnos desde la lejana galaxia.
Esto lo han hecho de diversas maneras, tanto entre las platas como entre los oros. Unos pocos, utilizando la idea técnica de congruencias. Otros, como Carlos de C., parece que descubren esta idea sin conocerla de antemano, lo que tiene especial mérito y les felicitamos por ello. La mayoría, lo han hecho experimentando con números de menos cifras (¡una muy buena idea!) y dándose cuenta de cuál era el patrón que emergía.
En particular Alberto L., que se define como "Renegado" por desobedecer los consejos, ha experimentado con un ordenador (no es el único). Pero sólo para números de 8 cifras porque, como nos señala, su programa, que calcula 400 Gúgol-dígitos por segundo, tardaría 932640940698958426597427403229175993076073656250932640940698958426597427403229175993076073 años en calcular uno a uno los Gúgol-dígitos de los 10^100 números que entran en el sorteo. Una demostración práctica de que las máquinas, utilísimas como son, no pueden sustituir del todo a la capacidad de razonamiento del cerebro humano.
La RSME ha decidido enviar un ejemplar del libro Gardner para principiantes, que forma parte de la Biblioteca Estímulos Matemáticos que la sociedad publica conjuntamente con Editorial SM, a tres lectores seleccionados por la sociedad de entre los que hemos llamado oros. Son Jordi F., Mª José E. M. y Zenaida H.
Hayáis dado o no con la respuesta correcta, espero que el desafío os haya resultado interesante. En nombre de EL PAÍS, de la RSME y en el mío propio, os deseo felices fiestas ¡y suerte con la lotería!
