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Muere Alan Baker, el explorador de los números trascendentes

El matemático inglés fue distinguido por sus estudios de soluciones de las llamadas ecuaciones diofánticas

Dia de Pi
El número Pi.

El pasado 4 de febrero falleció en Cambridge (Reino Unido) Alan Baker, uno de los máximos exponentes de la matemática inglesa y de la teoría de números del siglo XX, distinguido con la Medalla Fields en 1970, cuando apenas acababa de estrenar la treintena, por sus trabajos fundamentales en el estudio de soluciones de las llamadas ecuaciones diofánticas.

Nacido en Londres en el año 1939, Baker estudió en algunas de las instituciones más prestigiosas del mundo: realizó sus estudios de grado en matemáticas en la University College London; y desarrolló su tesis de master y de doctorado en el Trinity College de Cambridge, bajo la dirección de Harold Davenport. Su carrera investigadora empezó temprano; antes de terminar su doctorado en el año 1965 obtuvo diversos resultados de teoría de números que hoy se consideran contribuciones fundamentales en matemática, y que le valieron para ser elegido ese mismo año miembro del Trinity College, institución en la que permanecería toda su vida.

Baker se dedicó especialmente a la denominada teoría de trascendencia, un campo de la teoría de números que estudia los números trascendentes. Estos se definen en contraposición a los llamados números algebraicos, que son aquellos que se obtienen como solución de una ecuación polinómica con coeficientes enteros. Por ejemplo, el -3, el 4/7 o la raíz cúbica de 2 son números algebraicos ya que se obtienen al resolver las ecuaciones x+3=0, 7x-4=0 y x^3=2, respectivamente. Así, los números algebraicos abarcan los números enteros, los números racionales y, en general, los números que se obtienen aplicando de manera sucesiva raíces de todos los órdenes.

Los números trascendentes son los números que no son algebraicos. Los ejemplos más prominentes son el número π y la base del logaritmo neperiano, el número e. La demostración de que π es trascendente fue obtenida en el año 1882 por el matemático alemán Ferdinand von Lindemann. A partir de este resultado se puede resolver fácilmente el problema clásico de la cuadratura del círculo: ¿es posible construir, con regla y compás, un cuadrado cuya área sea igual a π?

Además de π y e, se sabe que la mayoría de los números son trascendentes. Pese a ello, es muy difícil asegurar que un número dado es trascendente, ya que para comprobarlo, hace falta demostrar que no hay ningún polinomio que tenga como raíz ese número. David Hilbert, en su lista de los 23 problemas que marcarían el desarrollo de las matemáticas del siglo XX, incluyó un problema relativo a estos números. Decía lo siguiente: dado un número a algebraico y distinto de 0 y 1, y b un número algebraico irracional, es decir, que no se puede expresar como una fracción, ¿es cierto que el número ab es un número trascendente? En 1934 Aleksandr Gelfond demostró que así es, y, también lo probó en el año 1935 Theodor Schneider de forma independiente y con un método diferente (en la primera mitad del siglo XX la comunicación científica era más complicada, y podían ocurrir, como en este caso, que dos científicos hallasen independientemente el mismo resultado). Es lo que hoy se conoce como teorema de Gelfond-Schneider que asegura que, por ejemplo, 2 elevado a raíz de 2 es un número trascendente.

Baker logró llevar más allá los resultados de Gelfond y demostró que si a1, a2, …, an son números algebraicos distintos de 0 y 1, y b1, b2, …, bn números irracionales algebraicos, linealmente independientes sobre los números racionales, entonces el número 12 n ababab es un número trascendente. Además aplicó este resultado excepcional al estudio del número de soluciones de familias muy generales de ecuaciones definidas sobre los números enteros.

La teoría de la trascendencia aún sigue siendo un área muy desconocida; por ejemplo, a día de hoy ni siquiera sabemos si la suma π+e es un número trascendente o no. Expertos en teoría de números siguen trabajando para probar este y otros resultados, usando nuevas herramientas como la teoría de periodos, objetos que tienen interacciones muy profundas con la teoría cuántica de campos y la geometría no conmutativa. Los trabajos de Baker ayudaron a entender algo más sobre los números trascendentes, y marcaron parte de la historia de las matemáticas puras del siglo XX, arrojando un poco de luz sobre las propiedades más profundas de la aritmética de los números naturales.

Juanjo Rué es profesor agregat del Departamento de Matemáticas de la Universidad Politécnica de Cataluña y miembro de la Barcelona Graduate School of Mathematics.

Ágata Timón es responsable de Comunicación y Divulgación del ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

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