Juego parece...

Después de habernos divertido con el Juego del Drago y de hacerle un tributo al cubo de Rubik, el rompecabezas más famoso de la historia, continuamos hablando de juegos…o no. Sigue leyendo y entenderás qué quiero decir.

Estoy seguro de que en alguna ocasión te han propuesto jugar a algún juego sencillo y, después de unas cuantas partidas, e independientemente de la estrategia que hayas seguido, no has conseguido ganar ni una sola vez. Es posible entonces que ese juego tenga una estrategia ganadora para uno de los jugadores (ya sea el primero o el segundo) y la persona que te lo propuso conozca dicha estrategia y se haya colocado en la posición del jugador que acabará ganando si “juega bien”.

Pongamos un ejemplo. Imagina que tenemos 15 palillos y jugamos alternativamente a retirar uno o dos palillos en cada turno, ganando el jugador que se lleve el último palillo. Como soy un caballero, te dejo comenzar a ti. ¿Qué harías? Puedes hacer alguna prueba tú mismo antes de seguir leyendo.

¿Ya? Después de algunas pruebas, y pensando un poquito, te habrás dado cuenta de que si yo, segundo jugador, juego convenientemente tú, primer jugador, nunca ganarás una partida de este juego. La razón es que hay una estrategia que asegura que el segundo jugador ganará siempre. Esta estrategia es muy simple: si tú coges un palillo, yo después cojo dos; y si tú coges dos palillos, yo después cojo uno. Así siempre se habrán retirado tres palillos cada vez que haya jugado un turno cada uno, y como 15 es múltiplo de 3 yo, segundo jugador, soy el único que puedo llevarme el último palillo.

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El Juego del Drago

Hay muchísimos juegos sencillos para los cuales se conoce estrategia ganadora (o no perdedora, si el juego permite un empate), y muchos para los que se sabe que dicha estrategia existe aunque no se conozca. Así que ten cuidado y, si ves que nunca ganas, analiza el juego y prueba a pedir cambiar de posición, ya que esa será una de las claves.

Ahora, en uno de estos juegos podrías no perder siempre, ya que quizás el jugador que te lo propone no conoce la estrategia ganadora (o no perdedora). Por ejemplo, para el tres en raya existe una estrategia no perdedora tanto para el primer jugador como para el segundo, por lo que todas las partidas deberían acabar en empate si ambos jugadores “juegan bien”. Pero la realidad es que a veces gana uno de los jugadores porque el otro no conoce dicha estrategia o porque comete algún error. Por tanto, en estos juegos todavía te queda alguna esperanza de ganar.

Pero estos no son los juegos de los que yo quería hablar hoy. Quería presentaros unos juegos que parecen juegos pero que en realidad no son juegos. Voy a poner un ejemplo para intentar aclarar este lío.

Volvamos a los palillos, elementos muy socorridos para este tipo de divertimentos. Ahora tenemos 20 de ellos, y en cada turno un jugador puede retirar un palillo, tres palillos o cinco palillos a su elección. Gana quien se lleve el último palillo. ¿Te interesa ser el primer jugador o el segundo? Elegida ya la posición, ¿qué estrategia utilizarías para ganar? De nuevo, te animo a que hagas alguna prueba por tu cuenta antes de seguir leyendo.

¿Qué tal las pruebas? Seguro que ya has descubierto el “truco”, pero por si acaso te lo cuento yo: te interesa ser el segundo jugador, y ganarás siempre sin importar la estrategia que utilices. Si nos fijamos, cada jugador puede retirar solamente una cantidad impar de palillos, por lo que el único que puede dejar un número par de palillos en la mesa es el segundo jugador. El jugador que gana, el que se lleva el último palillo, deja cero palillos en la mesa. Y como cero es par, está claro que el único que puede ganar es el que puede dejar un número par de palillos, el segundo jugador en este caso.

Y no importa la estrategia que use, da lo mismo la cantidad de palillos que tome en cada turno, acabará ganando siempre. ¿Veis la diferencia con los juegos anteriores? Allí había que seguir una estrategia para ganar, pero aquí el segundo jugador gana sí o sí sin necesidad de tirar de estrategia, y el primer jugador no puede hacer nada por evitarlo. Es algo así como que el ganador está ya determinado por las propias reglas del juego, independientemente de los movimientos que hagan cada uno de los jugadores.

Por eso decía antes que estos “juegos” en realidad no son juegos en un sentido estricto, ya que no dan la opción de “jugar”. Por ello, en ocasiones suelen llamarse pseudojuegos. Veamos otro ejemplo, ahora con monedas.

Supongamos que tenemos nueve monedas de 50 céntimos y seis monedas de 10 céntimos:

El juego, para dos jugadores, consiste en retirar monedas alternativamente con las siguientes reglas:

- En cada turno se puede retirar dos monedas iguales o dos monedas distintas.

- Si se retiran dos monedas iguales, el jugador añade una moneda de 50 céntimos a las que queden.

- Si se retiran dos monedas distintas, el jugador deja en su lugar una moneda de 10 céntimos.

Como podéis ver, en cada turno el número de monedas disminuye en una unidad, por lo que llegará el momento en el que sólo quedará una moneda. Si esa moneda es de 10 céntimos gana el primer jugador; si es de 50 céntimos, gana el segundo jugador. ¿Qué jugador elegirías ahora? ¿Y qué estrategia seguirías? Como antes, te animo a que pruebes por ti mismo antes de seguir…

…¿Cómo han ido las pruebas? ¿Sabes ya a quién elegir y qué hacer? Seguro que sí, pero veámoslo. Vamos a fijarnos en el número de monedas de 10 céntimos que tendremos en cada momento. Comenzamos con seis, número par, y después pueden pasar dos cosas:

- Que quitemos dos (lo de las dos iguales), con lo que no añadimos ninguna más de 10 céntimos.

- Que quitemos una (si quitamos dos distintas), y por tanto tengamos que añadir otra.

Esto significa que en todo momento hay un número par de monedas de 10 céntimos, lo que nos lleva a que, juguemos como juguemos, las monedas de 10 céntimos acabarán desapareciendo (el “caso límite” es que queden solamente dos monedas de 10 céntimos, que se quitarían y se sustituirían por una de 50 céntimos). La consecuencia de esto es que la última moneda será, irremediablemente, de 50 céntimos, independientemente de cómo juegue cada uno de los jugadores en cada uno de sus turnos. Por tanto, de nuevo estamos ante un pseudojuego que, con estas reglas, siempre ganará el segundo jugador.

Y terminamos con otro juego, más concretamente con una variante del Juego del Drago del que hablábamos hace un par de semanas. Se trata de la variante conocida como Brussels Sprouts (Brotes de Bruselas, o también Coles de Bruselas), y en vez de comenzar con unos cuantos puntos comienza con un cierto número de cruces (una o más). Las reglas son las siguientes:

- En cada turno, el jugador traza una línea (recta, curva…) que une dos salientes de alguna de las cruces (de la misma o de dos distintas) y añade una pequeña rayita (es decir, dos salientes más) en algún punto de la línea que trazó inicialmente.

- Una línea no puede cortar a otra línea ya dibujada ni a ninguna otra cruz que no sea la inicial o la final.

- Gana el jugador que trace la última línea que pueda trazarse.

Os dejo un ejemplo de dos primeros movimientos en una partida de Brussels Sprouts que comienza con dos cruces:

La cuestión es ver si esto es un juego o un pseudojuego y, en ese caso, quién gana y de qué depende que gane. Se puede encontrar información de este juego en internet, pero lo ideal es que probéis por vuestra cuenta y que, al menos, conjeturéis la solución sin buscarla antes. Podéis contarnos vuestros progresos en los comentarios.

Espero que os haya gustado conocer este tipo de juegos que no son juegos, y si ya sabíais de ellos y conocéis alguno más os agradeceríamos mucho que nos hablarais de ellos en los comentarios.