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BLOGS Por MIGUEL ÁNGEL MORALES
JUEGOS

Si Dios tuviera un número, ¿cuál sería?

Desde su creación, se ha buscado el número máximo de movimientos para resolver un cubo de Rubik cualquiera. ¿Sabes cuál es?

No sé yo si Ernő Rubik tenía siquiera una mínima idea de “la que se iba a montar” con su juguete, pero se montó, vaya si se montó. Si ahora miramos hacia atrás, podemos comprobar que el cubo de Rubik, el rompecabezas que este profesor húngaro inventó en 1974 para ayudar a sus estudiantes a comprender ciertos problemas en tres dimensiones, es el juguete más vendido de la historia.

Estoy convencido de que todos habéis tenido alguna vez en vuestra mano un cubo de Rubik, y también de que la mayoría le habéis dedicado al menos unos minutos a girar sus caras con la esperanza de conseguir que, en cada una de ellas, todos los cuadraditos tuvieran el mismo color.

Un cubo de Rubik sin resolver (izquierda) y otro resuelto (derecha).
Un cubo de Rubik sin resolver (izquierda) y otro resuelto (derecha).

No se puede negar que, desde que en 1980 comenzó a venderse, varias generaciones se han devanado los sesos intentando resolver el cubo de Rubik, y, pasados ya más de 40 años desde su invención, lo seguimos haciendo. Sin ningún conocimiento previo, y después de una inspección no demasiado profunda del cubo, cualquiera podría llegar a conseguir completar una de las caras; colocando dicha cara abajo, y aunque la cosa se complica un poco, llegar a completar el segundo nivel es razonablemente sencillo; terminar el nivel superior sin destrozar lo hecho anteriormente ya es bastante más complejo y requiere más estudio y análisis…

…o un tutorial que nos explique cómo hacerlo. En internet podemos encontrar multitud de manuales en distintos formatos que nos permiten resolver completamente el cubo de Rubik: los podemos encontrar en modo texto, con imágenes, con animaciones y hasta en vídeo; los hay para principiantes y para usuarios avanzados… No es el objetivo de este artículo explicar cómo resolver el cubo de Rubik, pero no quiero dejar pasar la oportunidad de recomendaros la web Rubik-AZ¸ página sobre el cubo creada por mi colega Carlos Angosto en la que, además de tutoriales sobre su resolución, encontraréis mucha más información sobre este maravilloso rompecabezas.

El cubo de Rubik del que hemos hablado hasta ahora, el clásico, el de toda la vida, es el cubo 3x3x3, que fue el original creado por Ernő Rubik, pero ni mucho menos es el único que existe actualmente. Hay muchísimas variantes de este cubo: 2x2x2, 4x4x4, 5x5x5…¡Hasta podemos encontrar cubos de 17x17x17!

Un cubo de Rubik 3x3x3 y otros de distintos tamaños. pulsa en la foto
Un cubo de Rubik 3x3x3 y otros de distintos tamaños.

También hay cubos en los que las caras no están divididas en cuadrados, sino en piezas más extrañas. Y los hay también que no son cubos: tetraedros, dodecaedros, poliedros no convexos… Aquí tenéis algunos ejemplos:

Distintos rompecabezas tipo Rubik con formas muy variadas. pulsa en la foto
Distintos rompecabezas tipo Rubik con formas muy variadas.

Pero, llamadme nostálgico si queréis, yo me sigo quedando con el original, con mi amado cubo de Rubik 3x3x3.

Volviendo a él, planteémonos ahora cuántas posiciones distintas podrían tomar sus piezas. Tenemos 8 vértices, que podrían permutarse de cualquier forma, por lo que eso nos daría 8! (8 factorial) posibilidades. Por otro lado, cada vértice tiene tres posiciones (sus tres caras visibles), por lo que esto nos daría 38 posibilidades para cada vértice. En total, hasta ahora llevamos 8! · 38 posibilidades.

La pieza central interna del cubo no cuenta (evidentemente), y la pieza central de cada una de las caras tampoco se mueve. Por tanto, tenemos 20 piezas que pueden cambiar de posición: los 8 vértices y las 12 intermedias de cada lado, que llamaremos aristas. Veamos qué ocurre con ellas.

Esas 12 aristas, al igual que los vértices, pueden permutarse entre ellas de cualquier manera, por lo que, al igual que ocurría con los vértices, tendríamos 12! posibilidades. Por otro lado, como cada arista tiene dos caras visibles, tendríamos por ello 212 opciones. En consecuencia, las aristas nos ofrecen 12! · 212 posibilidades.

Tendríamos por tanto 8! · 38 · 12! · 212 posibilidades, pero no todas pueden darse en un cubo de Rubik (por ejemplo, no podemos llegar a que lo único que falte por colocar bien sea un único vértice). Hay ciertas restricciones relacionadas con la paridad que hay que añadir.

La permutación de vértices y aristas debe ser par. Eso nos quita la mitad de las opciones, por lo que tendremos que dividir el número anterior entre 2. Por otra parte, podemos permutar todos los vértices excepto uno sin alterar nada más el cubo, por lo que debemos quitar un 3 de nuestro número (dividiremos entre 3). Y lo mismo ocurre con las aristas, podemos permutar todas excepto una sin cambiar nada más en el cubo, por lo que hay que quitar otro 2 (es decir, dividir entre 2). En total, hay que dividir el número anterior entre 12, quedándonos ya así el número total de posiciones que puede tomar un cubo de Rubik 3x3x3:

Número de posiciones posibles de un cubo de Rubik 3x3x3.
Número de posiciones posibles de un cubo de Rubik 3x3x3.

Una barbaridad de posibilidades, como podéis ver. Una enorme cantidad de posiciones iniciales a partir de las cuales podríamos intentar resolver el cubo. Y ahora viene la pregunta que motiva este artículo: ¿cuántos movimientos se necesitan, como mucho, para resolverlo?

Esta cuestión de cuál es el máximo número de movimientos que necesitaríamos para resolver un cubo de Rubik, sea cual sea la posición inicial, es algo que ha tenido entretenidos a investigadores prácticamente desde la aparición de este rompecabezas. Ya en 1981, un año después del comienzo de su comercialización, se demostraba que el número máximo de movimientos estaba entre 18 y 52.

Existen, como ya hemos dicho, muchos tutoriales y manuales para resolver el cubo de Rubik comenzando desde cualquier posición, pero muchos de ellos nos “obligan” a realizar más movimientos de los que quizás podríamos haber hecho partiendo de la posición inicial que tengamos entre manos. Vamos, que no son muy eficientes.

La cosa es que Dios, si existiera, seguro que dispondría de un algoritmo de resolución (es decir, una secuencia de pasos para resolver el cubo) totalmente eficiente, un algoritmo que resolviera el cubo de Rubik en el menor número de pasos posibles. A este algoritmo se le llamó algoritmo de Dios, y al número máximo de movimientos necesarios para resolver cualquier cubo de Rubik se le denomina número de Dios.

Este número de Dios, que en 1981 estaba acotado entre 18 y 52, era el Santo Grial del cubo de Rubik, el número deseado por todos los amantes del estudio de la resolución de este rompecabezas. En 1990 ya lo teníamos acotado entre 18 y 42; en 1995 entre 20 y 29; en 2008 entre 20 y 22; y, por fin, en 2010 se demostró que el número de Dios es exactamente 20.

Esto significa que todo cubo de Rubik, sea cual sea la posición inicial de sus piezas, se puede resolver en, como mucho, 20 movimientos. Habrá posiciones iniciales que necesiten menos de 20 movimientos, pero no hay ninguna para la que estemos obligados a realizar más de 20. Y, además, está demostrado que este número no se puede mejorar, ya que se sabe que hay posiciones concretas que necesitan de exactamente 20 movimientos.

Por tanto, esta búsqueda está completamente cerrada: el número de Dios es 20. Si queréis más información sobre esto, podéis echarlo un ojo a Cube20.

Para terminar, no puedo irme sin poner un par de vídeos relacionados con el cubo de Rubik que, seguro, os dejarán con la boca abierta. El primero de ellos nos muestra a Seung Beum Cho batiendo el récord del mundo de tiempo de resolución del cubo. Lo hizo el pasado mes de octubre de este año 2017 y lo dejó en nada menos que 4’59 segundos. Aquí lo tenéis:

Y el otro es producto nacional. En él vemos a David Calvo realizando una de las muchas barbaridades que se pueden ver en relación con el cubo de Rubik: con una mano hace malabares con dos cubos y con la otra mano resuelve un tercero. Ahí va:

Si conocéis de la existencia de vídeos en los que se realicen trucos como este o de otro tipo con el cubo de Rubik estaremos muy agradecidos si nos los mostráis en los comentarios.