Peinando cabezas con matemáticas

¿Quién no tiene un remolino en la cabeza que, por mucho tiempo que le dedique, no puede peinar? Vale, los calvos no, pero (no se me molesten, por favor) dejémoslos fuera del tema a estudio por un momento.

Todos, en alguna ocasión, hemos tenido que luchar con un remolino de pelo que no hemos podido domar, ya sea en nuestra propia cabeza o en la cabeza de alguien cuyo cabello hemos intentado domesticar. Pues la existencia de dichos remolinos, aunque pueda parecer increíble, tiene explicación matemática. Vamos a ello.

Pongámonos en situación. Vamos a imaginar una pelota (una esfera tridimensional) llena de pelo, con un pelo en cada punto de la superficie de la misma. Al “peinar” dicha pelota lo que hacemos es, básicamente, colocar cada pelo de forma tangente a la propia pelota. Algo así como lo que puede verse en esta imagen (las flechas serían los pelos):

Esta disposición de vectores tangentes a cada punto de la superficie de la pelota se llama campo de vectores tangentes a la esfera. Como nuestro objetivo es “peinar” la pelota completa, necesitaríamos que en todos los puntos el vector tangente (el pelo) fuera como una de esas flechitas. O, dicho de manera informal, que “el pelo saliera hacia afuera”. En términos de vectores, necesitaríamos que el vector tangente a cada punto de la superficie de la esfera fuera distinto del vector cero (así tendríamos flechita tangente)

Bien, pues el teorema de la bola peluda dice que todo campo de vectores tangentes sobre la esfera tiene al menos un cero. Es decir, peinemos como peinemos (usemos el campo de vectores tangentes que usemos) siempre habrá al menos un punto en el que nos toparemos con un remolino (un vector tangente cero).

Más formalmente, llamando a la esfera tridimensional como S² (que es como suele denotarse), podríamos enunciar el teorema de la bola peluda de la siguiente forma:

"Sea F : S² → R³ un campo continuo de vectores tangentes sobre S². Entonces existe al menos un punto p₀ de S² tal que F(p₀)=0."

De hecho, este teorema es válido para toda “esfera” Sⁿ, con n un número par mayor o igual que 2. Es decir, si pudiéramos tener una “pelotita” S⁴ (objeto que “vive” es un espacio de cinco dimensiones), tampoco podríamos “peinarla” completamente. Ahora, para Sⁿ, con n impar, sí que se puede. Por ejemplo, es sencillo verlo para S¹, que es una “esfera” en dos dimensiones (esto es, una circunferencia).

Por cierto, este teorema fue conjeturado por primera vez por Henri Poincaré a finales del siglo XIX y demostrado por Luitzen Egbertus Jan Brouwer en 1912.

Si llevamos esto a nuestra cabeza, y suponiéndola esférica (no lo es, pero nos sirve) y con un pelo en cada punto de su superficie (de acuerdo, en realidad no es así, pero para el caso nos vale), nunca podremos peinarla de forma perfecta, siempre nos encontraremos algún remolino que, irremediablemente, no podremos “arreglar”.

Como en muchas otras ocasiones, uno podría pensar que el teorema de la bola peluda es otro resultado matemático más sin importancia y sin aplicaciones prácticas. El propio teorema (como todos) tiene ya interés e importancia matemática, pero además nos ayuda a explicar un fenómeno meteorológico.

Tomemos el planeta Tierra como una esfera (vale, ésta tampoco es una esfera perfecta, pero nos vuelve a servir) y el viento en cada punto de la misma como campo de vectores tangentes. Por el teorema de la bola peluda, habrá al menos un punto de la superficie de nuestro planeta en que el vector tangente será el vector cero. Ese vector cero es una especie de huequecito, alrededor del cual tendríamos el remolino. ¿Veis por dónde voy? Un hueco, un remolino alrededor…Mirad la imagen:

¡¡Un ciclón!! El teorema de la bola peluda es la explicación matemática de por qué en todo momento hay al menos un ciclón en la superficie de la Tierra. Y, dependiendo de cómo sople el viento (es decir, dependiendo del campo de vectores tangentes que tengamos), en un cierto instante podría haber más de uno (el teorema dice “al menos uno”, pero no nos da ni un número exacto ni un número máximo).

Como curiosidad final, imaginemos que en vez que querer peinar una “bola peluda”, lo que queremos peinar es una “rosquilla peluda”. Pues, en este caso, sí podremos: es posible peinar a la perfección una rosquilla peluda. Teniendo en cuenta que en matemáticas a las rosquillas se las llama toros, se tiene lo siguiente:

"Es posible definir sobre un toro un campo de vectores tangentes que no tiene ningún cero."

¿Queréis verlo? Aquí tenéis un ejemplo de peinado del toro:

¿Se os ocurren más figuras tridimensionales que puedan ser peinadas de esta manera? Contádnoslo en los comentarios.