El Juego del Drago

Estamos ya casi en plena Navidad, época en la que muchos grupos de familiares y amigos aprovechan para reunirse después de, en ocasiones, mucho tiempo sin compartir momentos juntos. En estas fechas son típicas las comilonas y, después de ellas, las tardes y noches de conversación y diversión con esos seres queridos.

Hoy os quiero presentar un juego que, aunque hace ya años que se creó, no es muy conocido y puede servir para pasar un buen rato con otra persona. Se trata del Juego del Drago, también conocido como Brotes, inventado por los matemáticos John Horton Conway y Michael Stewart Patterson en la década de los 60 del pasado siglo XX.

Seguro que la gran mayoría de vosotros ha jugado al juego de los puntitos, o de los cuadritos (en mi casa lo llamábamos los ceros). Este juego para dos jugadores consiste en dibujar una cuadrícula de puntitos o circulitos (por eso lo de los ceros) del tamaño que queramos en la que después ambos jugadores, con turnos alternativos, dibujan líneas rectas (horizontales o verticales) que unan dos puntos consecutivos. Cuando un jugador dibuja una línea que completa un cuadrado, lo marca como suyo (coloreándolo con su color, poniéndole la inicial de su nombre…) y dibuja una nueva línea. Gana el que más cuadrados haya conseguido marcar como propios.

Bien, pues el juego de hoy también va de unir puntitos con líneas, pero de una forma un poco distinta. Vamos a explicar sus reglas y su mecánica.

El Juego del Drago, también para dos jugadores, comienza con una cierta cantidad de puntos dispuestos de la forma que queramos, cuantos más puntos más largo será el juego y mayor complejidad tendrá. Esos puntos se llaman brotes, y la mecánica del juego es que, de manera alternativa, cada jugador una con una línea, llamada rama (no necesariamente recta, vale una curva), dos de esos brotes o un brote consigo mismo y, después, añada un nuevo brote encima de la línea que acaba de dibujar.

Por ejemplo, comenzando con tres brotes podríamos unir dos como muestra la figura siguiente, y añadir entonces un nuevo brote sobre dicha línea (el de color verde):

Pero no podemos añadir líneas a nuestro antojo, sino que debemos seguir tres reglas:

1.- La rama (que, como hemos dicho, no tiene por qué ser recta) no puede cortarse a sí misma ni tampoco a otra rama que ya estuviera dibujada.

2.- Una rama no puede pasar por otros brotes que no sean los dos que queremos unir.

3.- No pueden salir más de tres ramas de ningún brote.

Cuando de un brote sale exactamente tres ramas, se dice que el brote está muerto, y por tanto ya no podrá usarse para dibujar una nueva rama.

Llegará un momento en el que ya no se puedan dibujar más líneas, ya sea porque todos los brotes han muerto, porque al dibujar una línea superemos las tres ramas en un cierto brote, porque las únicas ramas que podamos añadir corten a alguna que ya está dibujada…En ese caso, en la versión habitual del juego, gana el jugador que haya añadido la última rama.

Para que la cosa se entienda un poco mejor, os dejo una posible partida del Juego del Drago comenzando con tres brotes. En cada imagen podéis ver una jugada en la que se dibuja una rama y se añade un nuevo brote en ella (el punto verde):

Y ya no se pueden hacer más movimientos, ya que los únicos brotes que todavía sobreviven son los que aparecen en rojo en la siguiente imagen pero no se pueden unir sin cortar a una rama que ya esté dibujada (incumpliríamos la primera regla):

Tampoco podemos añadir una rama que una uno de esos dos brotes consigo mismo, ya que entonces tendríamos un brote del que salen cuatro ramas, incumpliendo así la tercera regla.

Como suele ser habitual en estos juegos, se ha estudiado matemáticamente el juego del drago en lo que a finalización y estrategias se refiere (tratándose de un juego creado por dos matemáticas, sería un delito no hacerlo en este caso). La primera cuestión que es interesante plantearse es si todas las partidas terminarán. Teniendo en cuenta que en cada movimiento aumenta el número de brotes, podría ser que alguna partida pudiera alargarse indefinidamente…

…pero eso es imposible en este juego. De hecho, está demostrado que, si se comienza con N brotes, el número de turnos es, como mucho, 3N-1. Es decir, todas las partidas del juego del drago terminan. Por dar otro dato, también se sabe que, como mínimo, cada partida tendrá 2N turnos.

Y, por otro lado, está la cuestión de las posibles estrategias que pueden seguir los jugadores con el objetivo de ganar una partida. La cuestión es que, al ser un juego que acaba en un número finito de pasos y en el cual no se puede empatar, el juego del drago tiene estrategia ganadora para alguno de los dos jugadores. Otra cosa es encontrar dicha estrategia…

La cuestión es que, actualmente, se sabe para qué jugador hay estrategia ganadora en unos cuantos casos, que dependen del número inicial de brotes. Por ejemplo, con 2 brotes hay estrategia para que gane el segundo jugador; para 3, 4, y 5 brotes iniciales la hay para que sea el primer jugador el que resulte ganador; para 6, 7 y 8 brotes el segundo jugador tiene estrategia ganadora; para 9, 10 y 11 la tiene el primero…

¿Veis algún patrón? Parece que sí, ¿verdad? Tranquilos, no os emocionéis todavía. Cierto es que parece que la posesión de estrategia ganadora sigue un patrón en función del número inicial de brotes, pero, por desgracia, en la actualidad es solamente una conjetura. Más concretamente, es esta conjetura:

Hasta donde yo sé, a día de hoy se conoce (está demostrado) para qué jugador hay estrategia ganadora para todos los números iniciales de brotes hasta 44, y también para 46, 47 ó 53, y todos esos casos cuadran con la conjetura anterior. Pero todavía no se sabe si la conjetura resultará ser cierta o si, por el contrario, algún valor del número inicial de brotes incumplirá la misma.

Para finalizar, comentar que hay otras variantes del juego, por ejemplo la que da como perdedor (en vez de como ganador) al que dibujó la última rama. Sobre la versión habitual, las otras versiones del juego y algunos estudios que se han realizado sobre el mismo tenéis más información en Computer Analysis of Sprouts y en Computer Analysis of Sprouts with nimbers.

¿Conocíais este juego? Después de conocerlo, ¿os habéis animado a echar alguna partida? Contadnos vuestra experiencia en los comentarios. Y si conocéis otros juegos sencillos de jugar y con interés, como el juego del drago, no dudéis en compartirlos con nosotros.