Un genio matemático con una muerte prematura

En la actualidad, las bases de las teorías matemáticas están tan profundamente desarrolladas y estudiadas que no es fácil encontrar cosas nuevas y realmente rompedoras: se necesitan muchos años de estudio y trabajo para poder aspirar a descubrir algo nuevo. Por ello, es muy complicado que alguien joven pueda realizar descubrimientos matemáticos realmente punteros. Pero eso, evidentemente, no ha sido siempre así. En la historia de las matemáticas podemos encontrar personajes que realizaron interesantes aportaciones o descubrieron y desarrollaron nuevas teorías a pesar de su corta edad. Y, posiblemente, uno de los casos más sorprendentes y trascendentes sea el del protagonista del artículo de hoy: Évariste Galois.

Évariste Galois fue un matemático francés nacido el 25 de octubre de 1811. Aunque tuvo educación y formación desde pequeño, no se le conoce un claro interés por las matemáticas hasta los 15 años. A partir de esa edad, se interesó por el estudio de, principalmente, el álgebra, e intentó acceder a importantes centros de estudios y también presentar trabajos a premios, con escaso éxito.

Parece claro que su carácter de rechazo a la autoridad fue, en gran parte, el culpable de ello. Galois siempre tuvo problemas para seguir los cauces marcados, y además fue un radical en lo que a política se refiere (ser antimonárquico en la Francia del siglo XIX no parece algo que te facilitara las cosas).

No vamos a comentar mucho más datos sobre su convulsa vida, pero sí vamos a hablar de su última noche, la del 30 de mayo de 1832. Galois había aceptado batirse en duelo al día siguiente (según sus propias palabras, le había sido imposible negarse), y esa noche escribió varias cartas, tres concretamente. Una de ellas fue para dos de sus amigos, para anunciarles el duelo y su más que probable muerte; otra fue para los republicanos; y la tercera, la que más nos interesa a nosotros en este texto, la usó para recopilar sus descubrimientos matemáticos, que a la postre resultaron claves para el avance del álgebra moderna.

La razones por las que se llegó a aquel duelo no parecen estar demasiados claras (algunos dicen que fue por una mujer, otros por temas políticos), incluso el desarrollo del propio duelo es algo confuso (en algunos lugares se habla de un duelo con espadas, en otros con pistolas…), pero la cuestión es que Galois falleció aquel día 31 de mayo de 1832, dejando este mundo sin haber llegado a cumplir los 21 años.

Volvamos a lo que más nos interesa aquí, volvamos a las matemáticas. ¿Qué recopiló Galois en esa tercera carta? Respuesta simple: cerró el círculo en lo que se refiere a resolución de ecuaciones polinómicas; respuesta más compleja: desarrollo una teoría que revolucionó el estudio del álgebra.

Vamos poco a poco. Desde el siglo XVII, se sabía que hay fórmulas para calcular las soluciones de toda ecuación polinómica hasta grado 4 con el simple conocimiento de sus coeficientes. Es decir, conociendo la ecuación tenemos una fórmula que nos da las soluciones de la misma, y dicha fórmula solamente involucra a los coeficientes de tal ecuación. Además, esta fórmula solamente utiliza (como mucho) sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y radicales (raíces), por lo que a este proceso se le llama expresar las soluciones de la ecuación en radicales. Pero esto sólo se tenía hasta grado 4 (para cada grado hay una fórmula distinta), y los intentos para encontrar algo parecido en grados superiores habían sido infructuosos.

Esto último era extraño. ¿Por qué no se había encontrado una fórmula para grado 5 o superior? Pues la respuesta es sencilla: porque no existe fórmula general para resolver una ecuación polinómica cualquiera de grado 5 o superior. Eso lo demostró el genial matemático noruego Niels Henrik Abel en 1824. Ya está, tema resuelto…

…bueno, a medias. No tenemos fórmula general, pero eso no significa que no se pueda resolver ninguna de esta forma. Galois demostró eso mismo, que no hay fórmula general, de manera independiente a Abel, pero fue un paso (un gran paso) más allá. Desarrolló una manera de asociar una estructura, que denominó grupo (se le considera el primero que utilizó esta denominación), a cada ecuación (fuera del grado que fuera) y estudió cómo debía ser este grupo, denominado ahora grupo de Galois de la ecuación, para que pudiera resolverse en radicales. Lo que encontró Galois es que si ese grupo era resoluble, entonces la ecuación podía resolverse en radicales, y que esto no podía hacerse si el grupo no era resoluble.

Las definiciones formales de grupo y de grupo resoluble escapan al propósito de este artículo, pero podemos continuar sin ellas para entender los logros de Galois. Para grado mayor o igual que 5, se tiene que el grupo asociado a la ecuación polinómica genérica de cualquiera de esos grados no es resoluble, lo que nos lleva a no tener a nuestra disposición una fórmula que nos dé las soluciones de una ecuación cualquiera de este tipo. Esto resolvía el problema que ya había resuelto Abel, pero con métodos distintos.

Los trabajos de Galois revolucionaron el estudio de las ecuaciones y supusieron el comienzo del álgebra moderna

Ahora, el trabajo de Galois va más allá. Como podemos asociar a cada ecuación concreta su grupo de Galois, estudiando cómo es ese grupo podemos saber si tendremos fórmula para ella o no, y además podremos construirla. Es decir, el trabajo de Galois nos proporcionar una procedimiento para saber si tendremos una fórmula en radicales para resolver cualquier ecuación (¡¡de cualquier grado!!) concreta, de la que conocemos sus coeficientes: ver si el grupo de Galois asociado a ella es o no resoluble, y en el caso de que se lo sea nos dice cómo construir la fórmula para resolverla. Maravilloso, ¿verdad?

Todo esto se conoce actualmente como teoría de Galois, y es un campo enormemente importante dentro de las matemáticas. Tanto que, casi 200 años después, se sigue estudiando en todas las universidades que ofertan estudios de matemáticas. Todos los matemáticos del mundo han estudiado teoría de Galois en algún momento de su vida universitaria (en mi caso, fue un cuatrimestre completo de una asignatura del segundo curso). Él solito cambió radicalmente (sí, la palabra viene muy al caso) el estudio del álgebra, que pasó del simple estudio de la resolución de ecuaciones al estudio de estructuras algebraicas, algunas de ellas asociadas a ecuaciones, como estos grupos de Galois. Y todo eso con apenas 20 años.

Évariste Galois, como habéis podido leer, fue un revolucionario en todos los ámbitos: fue un radical en su vida personal y revolucionó las matemáticas con la información que nos dejó en su última carta. Por ello, viene muy a cuento esta frase (no recuerdo dónde la vi) que muestra una curiosa paradoja de su vida:

Además de ser un genio en matemáticas, Galois fue un revolucionario, un rebelde. Por ello resulta tremendamente irónico y paradójico que él mismo probara que hay problemas que no pueden resolverse por radicales.