Borges en el jardín de los senderos que se bifurcan

La obra de Jorge Luis Borges, quien falleció el 14 de junio de hace ahora treinta años, es una cima literaria universalmente reconocida. Tanto por la fuerza de su poesía, como por la originalidad y belleza de sus relatos. El Aleph, La Biblioteca de Babel y Funes el memorioso muestran claramente la fascinación que sentía Borges por las matemáticas. Especialmente, por aquellas surgidas a partir de la llamada crisis de los fundamentos, cuando las bases de nuestra disciplina parecieron derrumbarse y quedó truncado el gran sueño formalista de Hilbert, quien creía que, a partir de unos axiomas, se podría resolver cualquier pregunta bien formulada. Sin embargo, en aquella época se entendió que cualquier sistema de axiomas posee zonas oscuras, en las que se pueden enunciar proposiciones cuya verdad o falsedad no es posible demostrar. De esta convulsión de principios del XX surgieron la teoría de conjuntos de Cantor, las paradojas de Russell y los cardinales infinitos, elementos clave en estos relatos de Borges.

Borges transcribe en sus historias esos escarceos con el infinito, y lo hace con un lenguaje barroco, bello y erudito; la paradoja de Aquiles persiguiendo a su tortuga a través de una infinidad no numerable de puntos y no alcanzándola nunca; la correspondencia de una esfera, por pequeña que sea, con todo el universo; la perplejidad de un Funes capaz de recordar con precisión cada instante de su existencia; o la de un hacedor de mapas que representa cada nimio detalle del universo, incluido el mismo mapa que está dibujando en ese momento. Pero quizás sea la Biblioteca de Babel el más conseguido de sus “relatos matemáticos”:

“El universo (que otros llaman la Biblioteca) se compone de un número indefinido, y tal vez infinito, de galerías hexagonales (…) Todos los libros, por diversos que sean, constan de elementos iguales: el espacio, el punto, la coma, las veintidós letras del alfabeto… (…) De esas premisas incontrovertibles dedujo que la Biblioteca es total y que sus anaqueles registran todas las posibles combinaciones de los veintitantos signos ortográficos, o sea todo lo que es dable expresar: en todos los idiomas. Todo: la historia minuciosa del porvenir, las autobiografías de los arcángeles, el catálogo fiel de la Biblioteca,…”

Este magnífico relato ilustra el concepto de número normal, que es aquel cuyo desarrollo “decimal” contiene cualquier sucesión de dígitos. En base 2, con las dos cifras 0 y 1, y con los 256 bytes de ocho cifras, podemos codificar los signos ortográficos y las letras del alfabeto. De manera que cada palabra se convierte en una sucesión de ceros y unos, y cada libro es una sucesión de palabras, así que se puede codificar de la misma manera. Por tanto, un número normal en base dos contiene todos los libros en su desarrollo decimal. Es una realización de la Biblioteca de Borges en clave matemática.

Borges transcribe en sus historias esos escarceos con el infinito, y lo hace con un lenguaje barroco, bello y erudito

Resulta fácil demostrar que casi todos los números son normales en todas las bases, pero, hasta ahora, nadie ha podido señalar uno concreto de ellos: ¿es Pi un número normal? Los matemáticos aún no lo sabemos. En otros relatos Borges también se hace eco de cómo en el caso de conjuntos infinitos, el todo puede ser puesto en correspondencia con las partes, y cita a Bertrand Russell aludiendo al catálogo de todos los catálogos.

El continuo y sus aparentes paradojas es otro de los temas que fascinó a Borges. Escribió ensayos en torno a las formuladas por Zenón de Elea, pero también sobre el tiempo y la teoría de los ciclos, o del retorno infinito. Sobre este tema fue su amigo Bioy Casares quien logró el relato perfecto: “La invención de Morel”.

Pero Borges también tiene ligerezas con las matemáticas. Con una cierta ingenuidad analítica se extraña de cómo el punto (que no tiene dimensiones) puede dar lugar primero a líneas, luego a superficies y, finalmente, a volúmenes. Y echamos de menos que no tratara, con su prosa e imaginación, otras grandes ideas de la lógica matemática: los hallazgos de Alan Turing sobre la computabilidad, de Kurt Gödel y Paul Cohen sobre la indecibilidad y la hipótesis del continuo respectivamente, o los resultados de Chaitin sobre la complejidad algorítmica.

Dentro de la teoría de conjuntos no reparó en los axiomas de Zermelo-Fraenkel y sus posibilidades literarias, cuando el primero de ellos, que asegura la existencia del conjunto vacío, la nada, ya fue previamente considerado por los místicos y quietistas del siglo XVII. Miguel de Molinos, interpretando El Génesis, llegó a la conclusión de que si Dios hizo el mundo de la nada, entonces el primer acto de la creación debió ser precisamente crear el conjunto vacío, o sea la nada. En versos de Antonio Machado:

Dijo Dios, sea la nada

Y alzó su mano derecha

Hasta ocultar la mirada

Quedando la nada hecha.

Antonio Córdoba (ICMAT) es director del Instituto de Ciencias Matemáticas y Catedrático de la Universidad Autónoma de Madrid