El oro de Fermat

A Andrew Wiles le acaban de conceder el Premio Rey Faisal por su solución al problema de Fermat, el descubrimiento matemático más sonado de los últimos tiempos. Los 200.000 dólares con que está dotado vienen a compensar en parte la pérdida de poder adquisitivo del Premio Wolfskehl, establecido en 1908 para tal hazaña, que también recibió Wiles en junio pasado, aunque reducido por inflaciones y devaluaciones a meros 50.000 dólares, apenas un 3% de su valor original.La matemática pura ha avanzado tanto que sus problemas abiertos suelen resultar completamente incomprensibles para todos excepto para el puñado de profesionales activamente involucrados en su investigación. En la teoría de números, sin embargo, sigue habiendo fascinantes problemas abiertos, para cuya comprensión basta la aritmética elemental, como las conjeturas de Goldbach, la de los números perfectos o (hasta hace poco) la de Fermat.

La primera conjetura de Goldbach, propuesta por éste a Euler como problema en 1742, dice: todo número par n mayor o igual que 4 es igual a la suma de dos números primos. En efecto, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, etcétera. Pero quizá haya un número par muy grande que no sea igual a la suma de dos primos. Hasta ahora, nadie lo ha encontrado, pero tampoco se ha probado que no exista. Un número perfecto es un número natural igual a la suma de sus divisores propios (es decir, distintos de él mismo). La conjetura sobre los números perfectos dice: todo número perfecto es par. En efecto, 6 es un número perfecto (6 = 1 + 2 + 3) y es par; 28 es un número perfecto (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) y es también par. Se ha comprobado que todo número perfecto menor que 10/150 es par. Pero quizá haya uno mayor que no lo sea. Tampoco esta hipótesis ha logrado ser probada ni refutada. La conjetura (o, ahora ya, el teorema) de Fermat dice: no existen números naturales x, y, z > 0 y n > 2, tales que X^n + y^n = Z^n. Para n = 2 sí existen, los triplos pitagóricos, como 3, 4, 5: 3^2 + 4^2 = 5^2 . Pero para n > 2 no se hanencontrado, ni se pueden encontrar, pues no los hay, como ha demostrado Wiles.

El estudio de las curvas elípticas (descritas por ecuaciones cúbicas o de tercer grado) pertenece a la geometría algebraica. El de las formas modulares (ciertas funciones de números complejos), al análisis complejo. A principios de los sesenta, Goro Shimura y Yutaka Taniyama formularon la conjetura que lleva su nombre y que interrelaciona ambas nociones, postulando que a cada curva elíptica corresponde una forma modular con serie L coincidente. Gerhard Frey en 1984 y Kenneth Ribet en 1986 mostraron que esa hipótesis implicaría la de Fermat. Wiles, fascinado desde pequeño con este famoso enigma, se encerró durante siete años de trabajo obsesivo para tratar de probar la conjetura de Shimura-Taniyama (en una versión restringida), desarrollando para ello diversas técnicas novedosas que establecen puentes entre geometría algebraica y análisis complejo, y cuya utilidad teórica sin duda crecerá en el futuro. En junio de 1993 anunció que ya tenía la ansiada prueba, lo que fue noticia de primera plana en los principales diarios. La prueba era tan larga y compleja y abarcaba tantas ramas de la matemática que era difícil encontrar quien la supervisara. Hubo que nombrar a un comité de seis expertos. Uno de ellos descubrió un fallo. Wiles tuvo que encerrarse de nuevo (con su discípulo Richard Taylor) durante año y medio para solucionarlo. Finalmente, los revisores dieron su visto bueno y la prueba de Wiles pudo publicarse en 1995 en Annals of Mathematics, donde ocupa más de cien páginas.

Aunque cualquiera puede entender la formulación del teorema de Fermat, casi nadie (ni siquiera entre los matemáticos) puede entender su demostración. Aceptamos sus resultados, porque nos fiamos de los muy pocos y muy competentes matemáticos que la han revisado, pero ello no deja de resultar profundamente insatisfactorio. El atractivo de la matemática proviene de la gloriosa transparencia de sus pruebas, no del atípico recurso al argumento de autoridad. Esperemos que esta primera, difícil y complicada prueba sea seguida por otras más sencillas y asequibles, a fin de que nuestra aceptación pueda basarse en evidencias propias.