Torneos y combinaciones

Como hemos visto en alguna ocasión, el siguiente término de una sucesión numérica puede ser cualquiera, ya que siempre podremos encontrar un criterio -incluso un algoritmo matemático- que lleve a él. Por eso se da la paradoja de que algunos niños superdotados obtengan bajas puntuaciones en test de secuencias numéricas porque descubren relaciones más sutiles que las obvias. Veamos un ejemplo trivial: el siguiente término de la sucesión 1, 2, 3, 4… es, obviamente, 5; pero también podría ser 6, 7 u 8 (invito a mis sagaces lectoras/es a encontrar los caminos que conducen a estos resultados).

Por lo tanto, las dos soluciones aportadas por los lectores como siguiente término de la sucesión planteada la semana pasada en honor del nuevo año: 2000, 2002, 2020, 2022…, a saber, 2040 y 2200, son ambas válidas, aunque el camino que conduce a la segunda es más claro y directo, pues es el siguiente número formado solo por ceros y doses. Otro camino (carrollianamente disparatado) para llegar a la misma solución es hacer 2=1, con lo que tendríamos una secuencia de números binarios sucesivos: 1000, 1001, 1010, 1011, 1100…

En cuanto a la otra sucesión, 62, 138, 262, 446…, sus términos son 2022 en las bases 3, 4, 5 y 6 respectivamente, por lo que el siguiente término será 2022 en base 7, o sea, 702. Julio Díaz-Laviada llegó a la misma solución por un camino más largo:

“La segunda sucesión parece seguir la función 2 x³ + 12x² + 26x + 22. Muy facilita, como dijo Carlo, a menos que haya algún método mejor… f(1), f(2),f(3) y f(4) coinciden, y f(5)=702″.

Por lo que respeta a las propiedades del número 2022, tal vez la más destacable sea su “abundancia”, como señala Salva Fuster:

“Relacionado con la voracidad y glotonería, que quizá dé paso a la anchura, comentar que el 2022 es abundante, pues la suma de sus divisores naturales exceptuando el propio número es 2034. Que el 2022 os ofrezca abundancia de cosas positivas”. Amén. (Recordemos que un número abundante es aquel que es menor que la suma de sus divisores sin contar el propio número). Y también cabe señalar que 2022 forma parte de dos ternas pitagóricas (en una como cateto y en la otra como hipotenusa): 2022² + 2696² = 3370², 1728² + 1050² =2022². Por cierto, ¿qué condición ha de cumplir un número para poder formar parte de una terna pitagórica?

De equipos y combinaciones

En la sección de comentarios de la semana pasada, Manuel Amorós planteó un interesante problema combinatorio que dio lugar a una amplia discusión:

En un torneo por eliminatorias se presentan 2n competidores. ¿Cuántos torneos distintos pueden darse? (Ver comentarios del 62 al 98).

En la misma línea combinatoria, he aquí un problema planteado recientemente en los exámenes de acceso a la universidad en Turquía, y que fue calificado de “endiablado” por los sufridos examinandos (aunque seguro que mis sagaces lectoras/es no lo encontrarán tan difícil):

Un equipo de 100 personas aborda un cierto número de proyectos. Todas las personas del equipo participan en un mismo número de proyectos, y a ninguna le corresponde la misma combinación de proyectos que a otra. Esto no sería posible si cada persona se ocupara de 3 proyectos, pero sí lo es si cada una se ocupa de 4. ¿Cuántos proyectos hay en total, sabiendo que son más de 5 y no más de 10?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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