¿Existe un sistema electoral sin voto útil?

Entre el 6 y el 9 de junio se celebran elecciones para renovar el Parlamento Europeo. Para seleccionar a sus representantes, la ciudadanía cuenta con un sistema de voto, que refleja, de cierto modo, sus preferencias. Sin embargo, igual que cualquier otro sistema electoral, el método empleado tiene sus limitaciones; no es perfecto –esta afirmación se basa en un teorema, el de imposibilidad de Arrow–. Este y otras herramientas matemáticas permiten analizar y entender los sistemas de votación; por ejemplo, aseguran que no hay ningún sistema de votación mínimamente democrático en el que no pueda darse el llamado voto útil.

El voto útil, es decir, decantarse por una opción distinta de la preferida con el objetivo de maximizar la satisfacción con el resultado electoral, puede presentar ciertos dilemas. Por un lado, es un procedimiento más complicado que, simplemente, votar a la opción preferida, ya que resulta imposible determinar qué alternativa conviene escoger sin conocer las preferencias del resto de votantes, las cuales no podemos saber a ciencia cierta. Por otro lado, esta estrategia supone no reflejar con el voto nuestras verdaderas preferencias políticas.

Pero, ¿podríamos definir un sistema de votación en el que todos los participantes tuvieran garantizado que, si votan a su candidato predilecto, el resultado electoral que se obtendrá será, al menos, igual de bueno para ellos que el que se decidiría si optaran por otra estrategia de voto? Las matemáticas pueden ayudarnos a ver si existe este sistema de votación idóneo, en el que no tendría sentido el voto útil.

Para realizar el análisis, vamos a centrarnos en el tipo más sencillo de elecciones, unas en las que únicamente sale elegido un candidato –por ejemplo, un presidente–. En este contexto, que ofrece la rama de las matemáticas llamada teoría de la elección social, podemos ver un sistema de votación como un «juego», cuyo desarrollo depende de la estrategia de voto seguida por cada votante y cuyo resultado es el candidato que gana las elecciones. Si un votante posee una estrategia de voto que asegura una satisfacción con el resultado igual o mejor que el obtenido con cualquier otra estrategia, se dice que ese votante posee una estrategia dominante. Si todo votante, independientemente de sus preferencias, siempre tiene a su disposición una estrategia dominante, se dice que es un juego simple. En ese caso, los jugadores no necesitan romperse la cabeza para encontrar la estrategia que les resultará más beneficiosa, pues siempre pueden llevar a cabo la estrategia dominante, la cual les garantiza un rédito igual o superior al de cualquier otra.

El sistema de votación idóneo que buscamos es, entonces, un juego simple en el que la estrategia del voto honesto –cada uno vota a su candidato preferido– es dominante para todos los jugadores. Sin embargo, como el filósofo Allan Gibbard demostró en 1973, no es fácil construir juegos simples con buenas propiedades. En efecto, el teorema de Gibbard afirma que si un juego es simple y admite al menos tres resultados distintos, entonces es, necesariamente, dictatorial. Es decir, que existe un jugador –llamado dictador– que posee una estrategia infalible que le permite obtener cualquier resultado; así, si el dictador quiere que el resultado del juego sea uno concreto, siempre dispone de una estrategia para conseguirlo, independiente de las estrategias que escojan los demás jugadores.

Por tanto, el teorema de Gibbard indica que el sistema idóneo de votación que buscamos, en el que el voto honesto es la estrategia óptima, no puede existir, pues, de hacerlo, sería un sistema dictatorial. En conclusión, independientemente del sistema de votación que empleemos, siempre va a haber situaciones en las que tenga sentido la estrategia del voto útil y, por consiguiente, los dilemas derivados de la misma son ineludibles. La vida no es tan fácil.

Andrés Laín Sanclemente es investigador predoctoral en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

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