Cómo jugar al hipercubo de Rubik cuántico

El famoso juego del cubo de Rubik consiste en conseguir, mediante ciertos movimientos, que cada una de las caras del cubo tenga un único color. En el universo cuántico encontramos un juego parecido: el del hipercubo cuántico. Este objeto surge de un modelo de computación cuántica y el reto consiste en reducir el nivel del hipercubo mediante una serie de movimientos. Los aprendizajes de este juego han permitido demostrar interesantes propiedades de los modelos cuánticos de computación y también de teoría de números.

En computación cuántica, la unidad elemental de información es el cúbit. Al igual que un bit, en computación clásica, un cúbit puede estar en dos estados, que denotamos con |0〉 y |1〉, pero también puede estar en estados intermedios, por ejemplo, el estado 0,8|0〉 + 0,6|1〉. Matemáticamente, se puede expresar cualquier cúbit con dos coordenadas, en el ejemplo anterior, (0,8, 0,6). Si tenemos un sistema de dos cúbits, el estado de cada uno de ellos se expresa con cuatro coordenadas. Los valores de cada una de estas coordenadas son números complejos; es decir, números de la forma a + bi, siendo a y b números reales e i la unidad compleja, definida como raíz cuadrada de -1.

Es posible considerar modelos de computación más sencillos, en los que las coordenadas de los estados cuánticos no pueden ser cualquier número complejo, sino solo aquellos de la forma a + bi, con a y b números enteros, salvo un factor que depende de un número natural k. Estas coordenadas corresponden a los llamados estados discretos, ya que solo pueden tomar valores discretos, los números enteros, de nivel k. Si tenemos un sistema de dos cúbits en estado discreto, cada uno se escribirá (a+ib, c+id, e+if, g+ih), con a, b, c, d, e, f y g números enteros. Y su nivel es k si las coordenadas satisfacen la ecuación a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + f2 + g2 + h2 = 2^k.

Podemos disponer las coordenadas de cuatro estados discretos de dos cúbits en una cuadrícula, una matriz, como en la Figura 1.a (imagen arriba). Cuando estos estados tienen el mismo nivel k y cumplen cierta propiedad (son ortogonales entre sí), la matriz es una puerta cuántica; es decir, un circuito cuántico básico sobre un pequeño número de cúbits, discreta de nivel k. En la Figura 1.a, cada fila y columna de la matriz se corresponde con las coordenadas de un 2-cúbit discreto de nivel 6, y, por tanto, la matriz es una puerta cuántica discreta de ese nivel.

En general, el hipercubo cuántico representa una puerta cuántica discreta de un determinado nivel k. En el juego de Rubik cuántico, el objetivo es bajar el nivel del hipercubo hasta el nivel cero, que corresponde a la matriz formada por ceros, excepto en los elementos de la diagonal principal, que tiene unos. Para ello, los movimientos permitidos son: permutar filas o columnas de la matriz, intercambiar las partes real e imaginaria de una fila o columna, rotar dos filas o columnas y reducir el nivel.

Para ejecutarlos, en lugar de girar el cubo como en el de Rubik, se opera el hipercubo con dos puertas cuánticas concretas llamadas H y G. En general, al aplicar la H a un cúbit, este aumenta en uno su nivel, pero, si cuando se aplica, las partes real e imaginaria de las dos coordenadas tienen las mismas paridades (es decir, que ambas son pares o ambas son impares), se reduce el nivel en uno. La puerta G intercambia las partes reales e imaginarias de ciertas coordenadas, pero deja invariante el nivel. Finalmente, la permutación y la rotación de filas o columnas son movimientos que resultan de combinaciones específicas de puertas G y H.

Entonces, para bajar el nivel del hipercubo, hay que conseguir que las filas 1 y 2, por un lado, y 3 y 4, por otro, tengan la misma configuración de paridades y aplicar H. Por lo tanto, la información realmente importante es la paridad de las coordenadas. Por esta razón, en el hipercubo estas paridades se representan mediante un código de dos colores, tal como se observa en la Figura 1.b. El movimiento reducción también puede realizarse, de manera análoga, por columnas.

Pero, ¡ojo!, si no se tiene cuidado con los movimientos escogidos, se puede ampliar el nivel del hipercubo, en vez de reducirlo. Si el hipercubo no tiene la configuración de paridades indicada, al aplicar H se aumentará el nivel. Lo mismo ocurre con la rotación de filas o columnas: si la configuración no es adecuada, aumenta el nivel del hipercubo, mientras que, si esta es adecuada, mantiene el nivel. Sin embargo, si jugamos siguiendo una estrategia adecuada, siempre podremos resolver este juego, al igual que sucede con el cubo de Rubik.

A partir de este juego podemos deducir hechos interesantes sobre la computación cuántica. Que siempre se pueda resolver equivale a que cualquier puerta cuántica discreta de dos cúbits se puede construir utilizando exclusivamente las dos puertas cuánticas elementales H y G. Se conjetura que el resultado es cierto para cualquier número de cúbits, aunque esto todavía no se ha demostrado. Además, esta cuestión se relaciona con otros problemas, con implicaciones profundas en teoría de números, que ya están siendo objeto de estudio.

Jesús Lacalle es director del departamento de Matemática Aplicada a las TIC de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Sistemas Informáticos en la Universidad Politécnica de Madrid.

Ágata Timón García-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).

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