La magia matemática que se esconde en la Sagrada Familia

Un cuadrado mágico es una cuadrícula de números donde cada fila y cada columna suman el mismo valor. En la fachada de la Sagrada Familia hay un cuadrado mágico de cuatro filas y cuatro columnas, donde cada fila y cada columna suman 33. En el misterioso cuadro de Durero Melencolia I también hay uno. Un sudoku es un cuadrado mágico donde cada fila y columna suman 1+2+...+9= 45.

Si dividimos cada número del cuadrado de la Sagrada Familia por 33, obtenemos una cuadrícula donde cada fila y cada columna suman 1, de forma que cada fila y cada columna describen las probabilidades de una variable aleatoria. Una variable aleatoria puede tomar distintos valores, cada uno con una cierta probabilidad. Podemos imaginar una variable aleatoria como un dado trucado, donde los valores de la variable corresponden a las caras del dado y las probabilidades a la posibilidad de que salga cada cara.

En particular, para el cuadrado de la Sagrada Familia, imaginen un dado de cuatro caras con un palo de la baraja en cada cara —la pica, el corazón, el diamante y el trébol—. El dado está trucado y, al tirarlo, la probabilidad de que salga cada palo es 1/33, 14/33, 14/33 y 4/33, respectivamente. Este primer dado, correspondiente a la primera fila del cuadrado de la Sagrada Familia, lo pintamos de color ocre. La segunda, tercera y cuarta fila describen otros dados de cuatro caras trucados, de color turquesa, violeta y dorado, respectivamente.

La magia está en que las columnas describen otros dados de cuatro caras, que determinan el color del palo. La primera columna describe las probabilidades del color de la pica —ocre, turquesa, violeta o dorado. La segunda, tercera y cuarta columna corresponden al color del corazón, diamante y trébol, respectivamente. La idea clave es que cada número de un cuadrado mágico juega dos papeles a la vez: describe la probabilidad de obtener el palo (en relación a su fila) y la probabilidad de obtener el color (en relación a su columna). Es decir, los mismos números sirven para describir los dados de palos y los dados de colores, según se vean en horizontal (como filas) o en vertical (como columnas).

Matemáticamente, los cuadrados mágicos son muy importantes, ya que describen procesos estocásticos, y, por ello, se han estudiado mucho y se entienden muy bien. Recientemente, se han generalizado al caso cuántico. Esto significa que cada fila y cada columna describen un “dado cuántico”; más precisamente, una medida cuántica. La clave es, de nuevo, que cada entrada juega dos papeles a la vez —uno respeto a sus colegas horizontales y otro respecto a los verticales—. Hay dos conjuntos de medidas — las horizontales y las verticales — que se pueden describir mediante la misma cuadrícula.

¿Cómo se describe una medida cuántica? En un dado normal, la probabilidad de obtener un resultado se describe con un número, como 1/33. En una medida cuántica, en vez de tener un número, tenemos una matriz. Es decir, una cuadrícula de números. Así que un cuadrado mágico cuántico es una cuadrícula donde cada entrada es otra cuadrícula. El tamaño de las cuadrículas interiores corresponde a la dimensión del sistema cuántico. Si el tamaño es uno, la cuadrícula interior es sencillamente un número y recuperamos un cuadrado mágico “normal”. Si el tamaño es dos, el sistema cuántico es un cúbit (un bit cuántico) y, si el tamaño es mayor, es un sistema cuántico con más niveles interiores.

Por eso, descubrir la física cuántica es como descubrir un nuevo universo: pasar de tamaño uno a superiores es como un Big Bang, que crea un universo de posibilidades. Es un universo no conmutativo, ya que el producto de matrices no es conmutativo (si A y B son matrices, A veces B es distinto de B veces A), mientras que el producto de los números sí lo es (2 veces 3 es igual a 3 veces 2). También es un universo complejo, pues tiene una parte real y una imaginaria. La composición de estos universos es muy curiosa, puesto que da lugar al entrelazamiento. No les puedo dar una intuición de por qué este universo es así porque yo misma solo entiendo la cuántica matemáticamente.

El universo de la cuántica está lleno de sorpresas que son invisibles a tamaño uno. Una de ellas son los cuadrados mágicos cuánticos, que son mucho más ricos que su sombra a tamaño uno. Por ejemplo, hay unos cuadrados mágicos llamados grecorromanos que no existen para dados de seis caras, pero sí existe una versión cuántica de ellos de tamaño cuatro, que involucra una forma muy fuerte de entrelazamiento y la proporción áurea. Por otro lado, los cuadrados mágicos cuánticos no se pueden expresar en términos de cuadrados mágicos cuánticos simples. El mundo de la cuántica no solo es más raro de lo que imaginamos, sino más raro de lo que podemos imaginar, parafraseando la cita.

Me encantaría que estas ideas no fueran solo materia de la ciencia, sino también del arte y de la filosofía. Desde luego, si Gaudí hubiera inscrito un cuadrado mágico cuántico en la Sagrada Familia, este tendría aún más magia.

Gemma De las Cuevas es profesora de la Universidad de Innsbruck (Austria).

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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