Problemas navideños

El título no se refiere a las aglomeraciones en los centros comerciales ni a las dificultades para organizar una cena de Nochebuena a gusto de todos los comensales, sino a los problemas lógico-matemáticos de temática navideña. Como el del abeto, discutido por algunos lectores la semana pasada, del que ofrezco una versión simplificada:

En el interior de un triángulo isósceles de base 1 metro y altura 2 metros, dibujamos un triángulo equilátero con la misma base, y sobre su vértice apoyamos otro de base paralela, y así sucesiva e indefinidamente, como indica la figura, formando un abeto fractal. Se pide calcular el área del abeto, o bien, puesto que se supone que estamos de vacaciones, estimar dicha área a ojo de buen leñador, sin necesidad de cálculos.

Y un clásico de Henry Dudeney, el matemático británico del siglo XIX conocido por ser uno de los mejores y más prolíficos creadores de acertijos lógicos de todos los tiempos:

A una fiesta navideña asistieron el anfitrión y su esposa, otros seis matrimonios, un viudo y tres viudas, doce solteros y diez solteras.

El viudo se entretuvo en contar los besos que, como era tradición, se dieron las personas que se encontraron bajo el muérdago. Todas las personas besaron a todas las demás, con algunas excepciones. El viudo, aún reciente la muerte de su esposa, no besó a nadie, y observó lo siguiente:

Ningún hombre besó a otro hombre.

Ningún hombre casado besó a una mujer casada que no fuera la suya.

Cada uno de los solteros besó dos veces a cada una de las solteras.

Las viudas no se besaron entre ellas.

¿Cuántos besos se dieron en total?

Concebir la finitud

En las últimas semanas, algunos comentarios han girado alrededor del infinito, la dificultad de definirlo y la imposibilidad de concebirlo; un buen pretexto para recordar que, en su poema filosófico Eureka, Edgar Allan Poe argumenta que la mente humana no solo no puede concebir lo infinito, sino tampoco lo finito. Una afirmación inquietante, pues decir que no podemos concebir ni lo infinito ni lo finito es como decir que no podemos concebir nada. Pero, más que inquietante, ¿no es sencillamente absurda la afirmación de Poe? ¿Acaso no vemos e imaginamos continuamente cosas finitas?

Continuamente vemos cosas finitas, en efecto. Pero solo podemos verlas o imaginarlas en un entorno y en relación con él. Prueba a imaginar una esfera; cuando menos, tendrás que imaginarla suspendida en el espacio, como un planeta solitario. Y a ese espacio circundante sin el cual la esfera no es posible ni siquiera como imagen mental, no podemos ponerle límites definitivos, definitorios. No podemos concebir lo infinito, pero tampoco lo finito, pues la imaginación viaja inmediatamente hasta esa imposible frontera del espacio y pregunta qué hay más allá. Como arriba y abajo, como anverso y reverso, finito e infinito son conceptos que no pueden existir por separado, que se determinan mutuamente.

Y lo anterior vale tanto para lo infinitamente grande como para lo infinitamente pequeño. Demócrito, tras oler un panecillo recién horneado, llegó a la conclusión de que no se puede dividir indefinidamente un trozo de pan en migas cada vez más pequeñas. Y la física del siglo XX le dio la razón. Pero los objetos matemáticos no están sometidos a las leyes de la naturaleza; no han de obedecer más reglas que las que se desprenden de sus propias definiciones. Un polígono regular inscrito en una circunferencia puede tener tantos lados como queramos, y cuanto mayor sea el número de lados, más se aproximará el perímetro del polígono a la longitud de la circunferencia, y su área a la del círculo correspondiente. Y lo mismo se puede decir de un poliedro inscrito en una esfera. A partir de este tipo de consideraciones -este vertiginoso viaje de ida y vuelta de lo finito a lo infinito- Arquímedes pudo hallar, anticipándose dos mil años al cálculo infinitesimal, el volumen de la esfera, del cilindro y del cono. Con lo que volvemos al abeto navideño, la entrañable conífera.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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