17 maneras de decorar su pared: los grupos de papel pintado

Desde los orígenes de la humanidad las matemáticas han jugado un papel importante en el desarrollo de las artes. En concreto, una de las relaciones más interesantes entre estas dos disciplinas se encuentra en el estudio de los patrones. A lo largo de la historia, las decoraciones con elementos repetidos se han utilizado tanto en tumbas egipcias, como en frisos griegos, jarrones chinos, en los populares grabados del artista M. C. Escher o… en los papeles pintados que podemos encontrar en cualquier hogar.

Este tipo de decoraciones motivó el avance de toda un área de las matemáticas: la teoría de grupos. Esta se empleó para clasificar los patrones existentes. Muchos matemáticos importantes se lanzaron a la tarea que no resultó ser tan simple como parecía.

A priori podría haber infinitos patrones diferentes. Sin embargo, parecen agruparse en categorías. Usualmente, cualquier tipo de patrón tiene 'regularidades' o maneras de repetirse, esto es, si lo moviéramos de cierto modo, el dibujo se mantendría igual. Este tipo de movimientos son las simetrías.

Los ingredientes básicos para construir simetrías son las traslaciones, las rotaciones y las reflexiones. Las traslaciones desplazan el patrón en una dirección determinada, hasta que vuelve a encajar con el original. Los giros mueven todo el patrón un ángulo determinado, alrededor de un punto. Las reflexiones son un movimiento especular sobre una línea, de manera que lo que queda a un lado de ella es un reflejo de lo que queda al otro.

Las simetrías de los patrones se configuran con estos movimientos. Los giros y las reflexiones son las primeras. Lo siguiente son dobles traslaciones, es decir, desplazar el patrón en dos direcciones distintas de manera que obtengamos lo mismo de nuevo. Finalmente, está la combinación de reflexión y traslación, por la cual movemos el patrón en una dirección y luego le aplicamos una reflexión. Esta es la simetría más difícil de visualizar, aunque es menos frecuente.

Partiendo de estas cuatro simetrías para crear una decoración, los matemáticos se preguntaron cuántas combinaciones eran posibles. En 1891 el matemático ruso Yevgraf Fiódorov fue el primero en demostrar que, aunque hay infinitas imágenes con las cuales formar patrones, ¡en realidad solo hay 17 combinaciones diferentes de simetrías! Estas 17 recetas que permiten clasificar patrones son los llamados grupos cristalográficos planos, también conocidos con el nombre más inofensivo de grupos de papel pintado.

Aunque las herramientas que se usan para demostrar que, efectivamente, solo existen 17 grupos son bastante modernas, es sorprendente constatar que este resultado se conocía (al menos intuitivamente) en la antigüedad. Efectivamente, en un edificio tan emblemático como la Alhambra, podemos hallar los 17 grupos representados como decoraciones de paredes y suelos. En 1922 Escher visitó este monumento para inspirarse en sus grabados geométricos.

El mismo problema, en tres dimensiones o más, da lugar a catálogos más amplios ya que, aparentemente, podemos encontrar muchas más combinaciones de simetrías. El primero en plantearse esta cuestión fue David Hilbert en 1900, y corresponde a uno de sus famosos problemas del milenio: ¿hay siempre un número finito de grupos cristalográficos en cualquier dimensión? Diez años después, el matemático Ludwig Bieberbach contestó afirmativamente a esta cuestión, aunque no pudo especificar cuántos grupos se obtienen exactamente en cada dimensión. Para entender la dificultad del problema, hay que tener en cuenta que en tres dimensiones hay 230 grupos diferentes, 4783 en dimensión cuatro y 222.018 en dimensión 5. Aún se desconocen cuantos hay para dimensión mayor que 6.

Estos grupos (y en particular los de tres dimensiones) tienen aplicaciones más allá de lo puramente estético. Son ampliamente utilizados en cristalografía química y física, geología e incluso arquitectura.

Julio Aroca es investigador predoctoral en la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT).

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