100 años del espacio de Hilbert

Quién de nosotros no querría levantar el velo tras el que se esconde el futuro y asomarse, aunque fuera por un instante, a los próximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo ulterior en los siglos futuros?

Así comenzó David Hilbert (1862-1943) su intervención en el Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en París en 1900. A continuación planteó 23 problemas que han modelado buena parte del desarrollo de las matemáticas en el siglo XX. Hace 100 años Hilbert era, en contraste con la situación de Einstein durante su annus mirabilis 1905 recién conmemorado, uno de los matemáticos con mayor prestigio y, probablemente, el más influyente.

Por aquellos años, el campo de estudio de Hilbert y sus colaboradores eran las ecuaciones integrales. Los estudiantes de secundaria aprenden que una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las que hay un número desconocido, la incógnita, cuyo valor se puede calcular efectuando operaciones. En una ecuación integral la incógnita no es un número, sino una función -una gráfica- cuya fórmula se quiere conocer y que aparece en la ecuación dentro de una integral. En la serie de artículos Fundamentos de una teoría general de las ecuaciones integrales, Hilbert analizó las técnicas introducidas para estudiar estas ecuaciones por Poincaré y Fredholm a finales del XIX, mejorando sus resultados. En el cuarto artículo de esta serie, publicado en 1906, Hilbert prueba que las ecuaciones integrales pueden resolverse como un sistema de infinitas ecuaciones lineales con infinitas incógnitas.

En el bachillerato se estudian los sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: tres números ligados por las ecuaciones cuyo valor se desea calcular. Estos números se pueden ver como las coordenadas -largo, ancho y alto- de un punto en el espacio, lo que permite usar herramientas geométricas como ángulos y distancias para resolver el sistema. Lo que hizo Hilbert fue construir herramientas geométricas análogas para un espacio, llamado Espacio de Hilbert, en el que los puntos tienen infinitas coordenadas, no sólo las tres cotidianas.

Este artículo de 1906 es el primer hito en la historia del Análisis Funcional, que así se llama el estudio de las funciones consideradas dentro de un espacio común, no como entes aislados, y de las transformaciones geométricas de unas funciones en otras que pueden llevarse a cabo. Como muestras de la importancia del Análisis Funcional en estos 100 años, tanto en su vertiente de herramienta aplicable a otras disciplinas como de motor del desarrollo interno de las matemáticas, basten dos botones. En primer lugar, el Espacio de Hilbert es la herramienta esencial de la formulación matemática de la Mecánica Cuántica, realizada por Dirac y von Neumann. En segundo lugar, la concesión de dos de las 10 últimas Medallas Fields -la más alta condecoración, con el Premio Abel, de las matemáticas- a Jean Bourgain y a William Timothy Gowers cuyos trabajos representan, hasta cierto punto, las vertientes aplicable y abstracta del Análisis Funcional.

En España tenemos motivos sobrados para conmemorar el centenario del Análisis Funcional. El Informe sobre la investigación matemática en España en el período 1990-1999 de Carlos Andradas y Enrique Zuazua muestra como la producción matemática española dobló en ese período su porcentaje mundial, situando a nuestro país entre los 10 más productivos. En dicho informe se comprueba que el Análisis Funcional es, de las 61 especialidades matemáticas consideradas, la más prolífica en cuanto al número de publicaciones, con un 9% del total nacional. Este florecimiento no hubiera sido posible sin la labor pionera de algunos miembros de la generación de matemáticos españoles nacidos en torno a 1930, de los que es de justicia destacar a Manuel Valdivia Ureña.

El Congreso Internacional de Matemáticas que se celebrará en Madrid, en agosto, será un buen momento para brindar por estos 100 años que llevamos viviendo en el Espacio de Hilbert.

Pedro J. Paúl es catedrático de Matemática Aplicada en la Universidad de Sevilla.