El ahorcamiento inesperado

La variante del problema de los sombreros blancos y negros propuesta la semana pasada por Gertrude Stein es más clara e inequívoca que otras: puesto que los tres sombreros no pueden ser blancos, si el tercer hombre viera dos blancos sabría automáticamente que el suyo es negro. Si el segundo hombre viera que el sombrero del primero es blanco, sabría que el suyo es negro, pues de lo contrario el tercero habría visto dos blancos. Por lo tanto, el sombrero del primero tiene que ser negro.

En cuanto a los isleños de ojos azules o marrones, si solo hubiera uno de ojos azules, la declaración del forastero se lo revelaría (al ver que todos los demás tenían los ojos marrones) y abandonaría la isla al día siguiente. Si hubiera dos, cada uno esperaría que el otro abandonara la isla al día siguiente, y al ver que no lo hacía, ambos deducirían: “Yo también tengo los ojos azules”, y se irían los dos al día siguiente. Siguiendo con el mismo razonamiento, y llamando n al número de isleños con los ojos azules, al cabo de n días se irían todos. Este acertijo, por su carácter recursivo, recuerda la paradoja del ahorcamiento inesperado, que luego veremos.

La probabilidad de que en una pareja de personas de ojos marrones ambas sean portadoras del gen de ojos azules es 1/4 (si consideramos equiprobables las cuatro posibilidades: MM-MM, MM-Ma, Ma-MM, Ma-Ma), y la probabilidad de que en un cigoto coincidan ambos genes recesivos es 1/4, por lo que la probabilidad de que una pareja de ojos marrones engendre un bebé de ojos azules es 1/16. Pero se pide la probabilidad de que tengan un hijo de ojos azules, es decir, un varón (pregunta-trampa antisexista), por lo que la probabilidad es la mitad de la anterior: 1/32. Sin embargo si consideramos que entre las personas de ojos marrones hay el doble de Ma que de MM (pues un Ma recibe el gen de un solo progenitor mientras que el MM ha de recibirlo de ambos a la vez), entonces las probabilidad de que en una pareja ambos sean portadores es 2/3.2/3 = 4/9, por lo que la probabilidad de que nazca un bebé de ojos azules es 1/9 (este segundo supuesto parece más acorde con el enunciado, un tanto ambiguo).

La paradoja de la sentencia imposible

-El ahorcamiento tendrá lugar a mediodía -dijo el juez al prisionero-, uno de los siete días de la semana próxima. Pero no sabrás qué día será hasta que no se te informe de ello la mañana del día del ahorcamiento.

El prisionero, acompañado por su abogado, volvió a la celda. Tan pronto como se quedaron solos, el abogado dijo:

-¿Te das cuenta de que no es posible ejecutar la sentencia del juez?

-¿Por qué?-preguntó el prisionero.

-Obviamente, no pueden ahorcarte el próximo domingo, porque es el último día de la semana, y el sábado sabrías que el ahorcamiento tendría lugar el domingo. Lo sabrías antes de que se te comunicase el domingo por la mañana, y esto iría en contra de la sentencia del juez.

-Cierto- dijo el prisionero.

-Por lo tanto, el domingo está descartado -prosiguió el abogado-. Esto hace que el sábado sea el último día que pueden ahorcarte. Pero no pueden ahorcarte el sábado porque el viernes quedarían sólo dos días: sábado y domingo. Puesto que el domingo no podría ser, el ahorcamiento tendría que ser el sábado. Pero saber esto volvería a violar la sentencia del juez. Así que el sábado también queda eliminado. Esto nos deja el viernes como último día posible. Pero el viernes está descartado, porque si estás vivo el jueves por la tarde sabrás que el vienes será el día de la ejecución.

-Entiendo- dijo el prisionero-. Del mismo modo puedo descartar el jueves, el miércoles, el martes y el lunes…

La sentencia del juez parece autorrefutarse. A primera vista, no hay nada lógicamente contradictorio en las dos afirmaciones que forman la sentencia; sin embargo, no puede llevarse a cabo en la práctica… ¿O sí?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’