La complejidad matemática del “juego de la vida”

Reglas muy sencillas pueden dar lugar a comportamientos muy complejos. Si hubiera que resumir el juego de la vida (Game of Life o, simplemente Life) en una frase, esta sería su mejor descripción. Algo que describe lo que sucede cuando se aplica un sencillo conjunto de reglas a uno de los autómatas celulares más simples que se conocen. Décadas después todavía se sigue examinando hasta donde llega esa complejidad, y cuáles son las aplicaciones prácticas de esta construcción matemática y de otras similares.

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Para explicar en qué consiste este peculiar juego surgido del mundo de la computación teórica primero hay que describir lo que es un autómata celular. En palabras sencillas es un modelo matemático que cambia paso a paso. Suele tener el aspecto de un tablero infinito, normalmente, de celdas cuadradas. Y el transcurrir del tiempo lo marca una especie de reloj universal.

Con cada tic se aplican unas reglas predefinidas a las "células" y se toma una decisión sobre lo que sucede individualmente con cada una de ellas. Las celdas más simples solo tienen dos estados: apagadas o encendidas. Cuando se ha completado el cálculo de todo lo que sucede en tan cuadriculado universo la operación comienza de nuevo.

Todo esto puede tener lugar en un escenario geométrico con diversos patrones (triángulos, hexágonos) e incluso en más o menos de dos dimensiones: hay autómatas de una sola dimensión (celdas en línea), 3D (cubos), 4D y otras dimensiones. Sus estados también pueden ser más complejos que una simple matriz de píxeles blancos y negros. Los hay con tres, cuatro o más estados, simbolizados normalmente por colores. Lo mismo sucede con las reglas: normalmente a cada celda solo le afecta las inmediatamente adyacentes, pero se pueden inventar reglas otras más complicadas e incluso acciones a distancia.

El pionero de la computación John von Neumann fue el primero en llamar la atención en la década de los 50 sobre los autómatas celulares a modo de curiosas construcciones imaginarias como parte de sus ideas sobre la autorreplicación en computación.

Lo verdaderamente interesante está en lo que sucede en los autómatas más sencillos. Porque complejidad puede añadirla cualquiera, pero en un simple escenario de píxeles cuadrados en blanco y negro, con un puñado de reglas minimalistas, ¿qué puede surgir? El matemático John H. Conway experimentó con ellos –con lápiz y papel, al igual que von Neumann– y halló en 1970 unas sencillas y prometedoras reglas que generaban comportamientos interesantes. Llamó a su descubrimiento el juego de la vida y las celdas pasaron a llamarse células.

Según estas reglas en cada paso se examina cada célula y sus ocho vecinas y se toma una de estas decisiones: (1) Si la célula está rodeada por menos de otras dos células, muere. (2) Si está junto a 2 o 3 células vecinas, sigue viviendo. (3) Si está rodeada por más de tres, también muere. (4) Si en una celda vacía hay exactamente tres células a su alrededor, nace una nueva célula. Es fácil hacer pruebas con lápiz y papel dibujando algunas células y calculando lo que sucederá a cada paso. A veces todas las células mueren, a veces entran en bucle, a veces dibujan curiosos patrones y otras parecen expandirse sin fin. Así empezó Conway y luego una multitud siguió sus pasos.

El mismo año en que Conway descubrió su juego el divulgador Martin Gardner publicaba acerca de él en su columna de la revista Scientific American, llegando a un montón de aficionados a las matemáticas recreativas que también se iniciaban en la era de los ordenadores personales. Programar el juego era sencillo y muchos se pusieron a experimentar con fruición, creando animaciones, buscando patrones y objetos de comportamiento curioso. Era bonito ver cómo progresaban. Y llamativa toda la vida que casi literalmente surgía de un juego y unas reglas tan simples. (Para quien quiera probarlo en la web muchos simuladores, por ejemplo Game of Life, de Edwin Martin y JavaScript Game of Life de Pedrovam).

Entre otras cosas se descubrieron objetos que se movían sin fin (los glider, que se tradujeron como deslizadores o planeadores), grandes estructuras complejas que interactuaban unas con otras y diversas rarezas – todo idealmente visualizado en los píxeles cuadrados de las pantallas del ordenador. No es casualidad que el emblema hacker sea precisamente uno de esos deslizadores, unificando así la cultura de la computación con las matemáticas y el espíritu apasionado y creativo de la investigación.

Con la llegada de ordenadores más potentes y software más avanzado se utilizó el juego de la vida para crear puertas lógicas como las de los microprocesadores. Pudiendo combinarlas a gran escala las estructuras del juego eran capaces de simular la electrónica de un circuito –de forma terriblemente lenta, eso sí– , pero ahí estaban los resultados. Se ingeniaron módulos acoplables con diversas funciones, como conversores en forma de dígitos visibles y otras maravillas. Y finalmente se construyó una máquina universal de Turing, un artefacto teórico que si contara con memoria infinita y tiempo también infinito podría realizar cualquier computación posible – incluyendo emular a otros ordenadores. Windows 10 a partir de las células que se encienden y apagan, en otras palabras.

Más allá de las simulaciones

Otro de los personajes que más ha investigado en las últimas décadas los autómatas celulares es el físico Stephen Wolfram. Joven prodigio y creador del software Mathematica dedicó su sesudo y controvertido libro A New Kind Science a explicar los resultados de su exploración. Comenzó como von Neumann y Conway, con lápiz, papel y ordenadores primitivos, pero decidió revisar todas las posibilidades de los autómatas celulares de forma empírica y exhaustiva, uno por uno. Así que probó todo lo que se podía probar en cuanto a definiciones y reglas de estos peculiares sistemas. Los clasificó, numeró y definió los que exhibían un comportamiento que calificó como de "interesante".

Esto le llevó a concluir que hay programas muy simples pueden generar comportamientos muy complejos, prácticamente como los sistemas caóticos, y que hay muchas similitudes entre el funcionamiento de los autómatas celulares con el de las leyes físicas del universo. Examinando sus autómatas (algunos de los cuales tienen simplemente un número de orden, como Regla 30 o Regla 110) se pueden apreciar similitudes con la termodinámica y otros fenómenos y estructuras del universo, incluyendo las partículas subatómicas. Uno de sus autómatas incluso se patentó como generador de números aleatorios – dado lo impredecible que resultaba. ¿Todo eso surgido de unas reglas extremadamente simples? Así era.

En esa búsqueda Wolfram también descubrió algunos autómatas que resultaron ser máquinas universales de Turing. Aplicando lo que define como "principio de equivalencia computacional" plantea desde un punto de vista teórico y filosófico que quizá vivimos en un universo computable. Ninguna de estas ideas es exactamente nueva, y muchas de hecho ya habían sido examinadas con anterioridad por diversos autores, mientras que otras están todavía abiertas o son cuestionadas por otros científicos, pero su trabajo al respecto es digno de mención.

Aplicaciones prácticas

Mientras tanto, los autómatas celulares se han hecho un hueco en otras áreas. Una de las aplicaciones prácticas es servir como base para simulaciones físicas a partir de unas reglas o premisas extremadamente simples. Un ejemplo es el simulador de líquidos en dos dimensiones que permite ver algunas de sus posibilidades. Las reglas son muy parecidas a las del juego de la vida y hacen comportarse a los píxeles de distintos colores como átomos sobre los que actúan fuerzas como la presión y la gravedad.

Entre otras aplicaciones también están las simulaciones de ciertos procesos químicos o incluso biológicos, tales como la formación de los patrones en la piel, el pelo o las conchas de ciertos animales. En las plantas sucede otro tanto: el comportamiento de los estomas (células de la epidermis de las hojas) es relativamente fácil de simular con unas pocas reglas. Con algo más de complejidad se puede simular también el funcionamiento de las neuronas, creando modelos que pese a su simplicidad acaban mostrando una extraordinaria complejidad cuando se les aplican ciertos patrones o valores iniciales.

En el fondo, esa es la grandeza del comportamiento tanto del juego de la vida como de otros autómatas celulares: que de algo tan simple pueda surgir algo elaborado y complejo. Tan elaborado y tan complejo que todavía hoy en día se siguen estudiando.