Una carita feliz

EL PAÍS y la Real Sociedad Matemática Española plantean el quinto y último desafío matemático del verano. En esta ocasión, presenta el reto Vicente Muñoz Velázquez, profesor de la Universidad Complutense de Madrid.

Entre los acertantes se sorteará una colección de libros Grandes Ideas de la Ciencia. Las soluciones deberán enviarse al correo electrónico desafiodeagosto5@gmail.com antes de las 00.00 del martes 2 de septiembre (medianoche del lunes al martes). Y sí, como entramos ya en septiembre, el desafío de esta semana busca una sonrisa (aunque sea nostálgica) y presenta una carita feliz.

Para evitar errores y en atención a nuestros lectores sordos, además del vídeo donde se plantea el desafío, publicamos a continuación el enunciado por escrito:

Tenemos un juego electrónico que consiste en una cuadrícula de luces que pueden estar encendidas o apagadas. Cuando se pulsa una casilla, el estado de la misma y el de las cuatro adyacentes cambia (si estaba encendida se apaga, y si estaba apagada se enciende). Esta figura sirve como ejemplo de cómo funciona el juego:

Así, con un tablero grande, y partiendo de todas las luces apagadas, hemos conseguido una carita feliz como la que se ve en la imagen de abajo. A la derecha, hemos marcado con una x las casillas que hemos presionado, para acordarnos de cómo lo hemos hecho.

Y ahora el reto de esta semana:

El desafío tiene dos partes. La primera consiste en mostrar que hay al menos un dibujo de luces iluminadas que no se puede conseguir con ninguna forma de presionar casillas. La segunda, explicar por qué al menos la mitad de los posibles dibujos no se pueden conseguir.

NOTA IMPORTANTE. El tamaño del tablero es 24 x 24. En la solución se puede usar el dato de las dimensiones del tablero, aunque no es un dato imprescindible. El argumento sí puede usar las dos imágenes que se aportan en el enunciado, pero no se admiten soluciones basadas en un programa informático que cuente todas las posibles configuraciones que se pueden conseguir.

¡Mucha suerte y buena entrada en septiembre!