Números a la parrilla

EL PAÍS recupera este verano su sección de desafíos matemáticos. De la mano de la Real Sociedad Matemática Española publicaremos cada jueves hasta final de agosto un problema e invitaremos a nuestros lectores a resolverlo antes de las 00.00 del martes siguiente. Ese día daremos el nombre del ganador, que elegiremos por sorteo de entre los acertantes y que obtendrá como premio la colección de libros Grandes Ideas de la Ciencia.

Nuestro primer desafío lo presenta Adolfo Quirós, viejo conocido de los aficionados a esta sección, impulsor de los desafíos, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y vicepresidente de la Real Sociedad Matemática Española. Además de plantear el problema, Quirós ha organizado el resto de los retos y nos acompañará este verano como coordinador de los mismos.

Las soluciones deberán enviarse al correo electrónico desafiodeagosto1@gmail.com antes de las 00.00 del martes 5 de agosto (medianoche del lunes al martes). Para considerar como válida una respuesta no basta con que la solución sea la correcta, hay que explicar cómo se ha llegado a ella.

Para evitar errores y en atención a nuestros lectores sordos, además del vídeo donde se plantea el desafío, publicamos a continuación el enunciado por escrito:

Empezamos con una parrilla 4x4 que en cada casilla tiene un 1 o un -1. El juego consiste en cambiar los valores de algunas casillas, siguiendo las reglas que se darán, y se gana si se consigue que haya un 1 en todas las casillas.

Se puede jugar con dos reglamentos distintos:

-Reglamento ACB (el más estricto): se pueden cambiar simultáneamente los valores de todas las casillas de una fila, de una columna, o de una de las dos diagonales.

-Reglamento NBA (más laxo): además de los movimientos autorizados por las reglas ACB, son también válidos los movimientos que consisten en cambiar simultáneamente los valores de todas las casillas de una recta paralela a una de las dos diagonales, incluido cambiar sólo el valor de una esquina.

Consideramos dos situaciones iniciales que pueden verse en esta figura

Para cada una de ellas nos preguntamos si se puede ganar, y cómo, con cada una de los reglamentos. Así que el desafío es cuádruple: para cada una de las dos posiciones iniciales, y con cada uno de los dos reglamentos, dar la cadena de movimientos que permite ganar la partida o demostrar por qué no se puede.