La astucia a veces no basta

Ya hay solución para el trigésimo cuarto desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Vadym Paziy, estudiante de Doctorado en el Grupo de Física Nuclear de la Universidad Complutense de Madrid y antiguo guía en la Olimpiada Matemática Internacional celebrada en 2008 en Madrid. propuso el problema (ver vídeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (vídeo de la derecha).

Para este desafío se han recibido en el plazo marcado 635 respuestas, de las que un 65% eran correctas. El ganador de una biblioteca matemática como la que entrega cada semana EL PAÍS ha sido en esta ocasión Enrique Barrio Río, de Aranda de Duero (Burgos).

Recordemos que el desafío preguntaba cuál de dos hermanos gusanitos de seda sería comido por una golondrina que les esperaba en su casa. Los hermanos se encontraban en un punto en la base de una colina diametralmente opuesto a la casa. La colina tiene forma de cono recto con una base circular de 1 metro de radio y una ladera de longitud 2 metros. Uno de los gusanitos es más astuto y sabe calcular el camino más corto, para lo que emplea 3 minutos, mientras que su hermano es más alegre y escoge el primer camino que encuentra, la base del cono, y sabemos que ambos se desplazan con la misma velocidad de 1 mm/s. Para que la respuesta fuese considerada correcta había que indicar no sólo el gusanito-víctima, sino también los cálculos que llevan a la conclusión.

La respuesta es que, desafortunadamente para él, es el gusanito astuto quien aplaca el hambre de la golondrina. Veamos los cálculos.

Como ya hemos indicado, la base de un cono no es el camino más corto para llegar de un punto a otro diametralmente opuesto. Existe una curva, llamada geodésica, cuya longitud es la más corta para llegar de un punto al otro en una superficie dada. Las rectas en el plano son un ejemplo muy claro de geodésicas.

Nuestro desafío está planteado en tres dimensiones. Sin embargo, si en nuestro cono hacemos un corte recto desde la base hasta el vértice y lo tumbamos sobre el suelo reducimos el problema a dos dimensiones. Todas las distancias se conservan (hemos hecho una isometría), con lo que el problema planteado se resuelve con las técnicas básicas de geometría.

En el dibujo se ve claramente que el camino elegido por el gusano astuto (marcado en rojo) es el más corto posible, y en particular más corto que el de su hermano. Calculemos su valor. A partir del dibujo se ve que el ángulo de apertura del cono es de 180 grados, y que tenemos por tanto un semicírculo.

Se puede comprobar analíticamente que el ángulo es 180º. Llamando r al radio de la base, que vale 1 para nuestra colina, y g a la longitud de la pendiente (en matemáticas se suele llamar generatriz del cono), que en este caso es 2, tenemos

ángulo = 360º x r/g = 360º x 1/2 = 180º

También podemos comprobarlo, como han hecho muchos lectores, observando que se trata de un arco de circunferencia de radio 2 y longitud la longitud de la base del cono. Esta longitud es 2 x pi x r=2 x pi x 1=2 x pi, y como la longitud de una circunferencia de radio 2 sería 2 x pi x 2=4 x pi y tenemos la mitad de esta cantidad se trata de un semicírculo.

Sea x el camino corto elegido por el gusano astuto. Aplicando el teorema de Pitágoras:

x = raíz cuadrada de (2^2+2^2) = raíz cuadrada de 8, aproximadamente 2,83 metros

Hallemos ahora la distancia que recorre el gusanito alegre. Llamémosla y. Como camina a lo largo de la base del cono, dividiendo entre 2 la longitud de la circunferencia que forma la base obtenemos el resultado:

y = (2 x pi x r)/2 = pi, luego será aproximadamente 3,14 metros

Recordando que la velocidad de ambos es 1mm/s el tiempo empleado es:

t(astuto) = 2,83m/0,001m/s = 2828,4 s, aproximadamente 47 minutos

t(alegre)= 3,14m/0,001m/s = 3141,6s, aproximadamente 52 minutos

Como vemos el gusanito astuto tarda en el recorrido unos 5 minutos menos que su hermano, y, por desgracia, a pesar de que salió 3 minutos más tarde la golondrina se lo come.

En este caso las soluciones correctas han seguido prácticamente todas este camino, pero aun así queremos destacar las de Busto Bocanegra y Miguel Garriga por, además de ser correctas, sus representaciones gráficas de la geodésica del cono en 3 dimensiones. También las de José Barrera Gómez, Vicente Gómez, Andreu Soler Mira y Javier Masip Usón por sus reflexiones y propuestas de generalización y mejora del desafío.

Es interesante comentar las soluciones que proponen las cónicas como curvas óptimas para el gusanito astuto. Aunque son incorrectas (la geodésica es un poco más corta), es de apreciar el trabajo de sus autores realizando los cálculos, que no son triviales (en algunos casos involucran incluso análisis numéricos). Es una lástima que no hayan encontrado la ecuación de la geodésica del desafío, que es la solución alternativa al problema, aunque un poco más técnica. De hecho no se ha recibido ninguna respuesta con el cálculo exacto de la ecuación de la geodésica.

Por último, tanto Vadym Paziy como los organizadores queremos dar las gracias al profesor Lorenzo Abellanas Rapún, del departamento de Física Teórica II de la Facultad de Ciencias Físicas de la Universidad Complutense de Madrid, ya que el desafío está inspirado en un problema que contó él en clase de Geometría Diferencial Clásica durante el curso 2007-2008.

Dos gusanitos y una golondrina voraz

La golondrina cenará gusano astuto