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Cómo ahorrar en tuberías

Resolvemos el 21º desafío matemático de EL PAÍS con el que celebramos el centenario de la Real Sociedad Matemática Española.- El ganador es Miguel Iglesias Santamaría, de Santander.- El jueves plantearemos un nuevo desafío

Consulta todos los desafíos matemáticos anteriores | Dudas, sugerencias, quejas y soluciones, en el correo problemamatematicas@gmail.com | Este jueves plantearemos un nuevo reto

Ya hay solución para el vigésimo primer desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española (ver el vídeo conmemorativo).

Mari Paz Calvo, Catedrática de la Universidad de Valladolid propuso el problema (ver vídeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (vídeo de la derecha). Recordemos el reto: En un jardín se quiere montar un sistema de riego automático. Para ello se instalará una boca de riego de la que saldrán tantas tuberías como árboles queramos regar, de modo que cada tubería llegue a uno de dichos árboles y que la suma de las longitudes de dichas tuberías sea mínima. Considerando un jardín con cuatro árboles hay que determinar cuál es el punto (o los puntos, si hubiera más de uno) en los que hay que situar la boca de riego para que la suma de las longitudes de las cuatro tuberías sea mínima.

Para este desafío, el segundo del mes de agosto, se han recibido 401 respuestas, de las que un 49% han sido correctas. El ganador de una biblioteca matemática como la que entrega cada semana EL PAÍS ha sido en esta ocasión Miguel Iglesias Santamaría, de Santander. Este domingo, en el quiosco, por 9,95 euros con el periódico, Ideas fugaces, teoremos eternos, de Joaquín Navarro.

El mayor porcentaje de respuestas no válidas corresponde a aquéllas que aun resolviendo correctamente algunos de los casos, no han considerado todas las disposiciones posibles de los cuatro árboles. La disposición más olvidada ha sido aquélla en la que tres de los cuatro árboles forman un triángulo y el cuarto árbol está situado en el interior del mismo, lo que en lenguaje matemático expresaríamos diciendo que los cuatro árboles forman un cuadrilátero cóncavo.

Cabe destacar un error que se ha repetido con cierta frecuencia: "La boca de riego debe situarse en el punto cuyas coordenadas son el promedio de las coordenadas de los cuatro puntos dados" (la media). Hay que señalar que ésta sería la respuesta correcta si hubiésemos querido que la suma de los cuadrados de las longitudes de las cuatro tuberías fuese mínima. La solución correcta al desafío planteado, en el que se quiere que la suma de las longitudes de las cuatro tuberías sea mínima, tiene que ver con lo que en Matemáticas se conoce como mediana.

Aunque en la mayoría de las respuestas no se incluye justificación (puesto que no se pedía) sí cabe mencionar que han sido numerosos los que han dado explicaciones satisfactorias, al menos para algunos de los casos. Mencionamos las respuestas de Pablo Moreno, que además de ser la primera en llegar justifica tres de los casos utilizando nuestros mismos argumentos y la respuesta de Jesús García Gual, cuya justificación está basada en las propiedades métricas de los focos de una elipse.

La solución propuesta por la Profesora Calvo es la siguiente:

Como ya se indicó en el planteamiento, la solución del desafío de esta semana depende de la disposición que tengan los árboles en el jardín.

- Si los 4 árboles están alineados, la boca de riego se puede situar en cualquiera de los puntos de la recta en la que están los 4 árboles y que dejan 2 árboles a un lado de la recta y otros 2 al otro lado. Dicho de otro modo, en el segmento de recta que une los dos árboles interiores, incluidas las posiciones en las que están dichos árboles intermedios. (La solución a este caso es consecuencia inmediata del ejemplo de 2 árboles incluido en la presentación del problema.)

- Si los 4 árboles forman un cuadrilátero convexo, la boca de riego debe situarse en el punto de corte de las dos diagonales del cuadrilátero. (Cualquier punto de cada diagonal hace mínima la suma de las distancias a los 2 árboles situados en los extremos de la misma y, por tanto, el punto de corte de ambas minimiza la suma de las distancias a los 4 árboles.)

- Si uno de los árboles es interior al triángulo que forman los otros tres, la boca de riego debe situarse donde está dicho árbol interior. (Se descarta en primer lugar que la boca de riego pueda situarse en un punto que esté fuera del triángulo, porque instalándola en el punto reflejado respecto de alguno de los lados del triángulo la suma de las longitudes de las 4 tuberías sería menor. A continuación se considera el caso en que la boca de riego se sitúa en un punto interior al triángulo, distinto del punto donde está el árbol interior. En este caso, el triángulo inicial queda dividido en tres triángulos cuyos vértices son dos de los árboles y el punto donde estaría la boca de riego. En alguno de esos triángulos estará el árbol interior y, comparando las longitudes de los lados de dicho triángulo y las de los lados del triángulo de vértices la boca de riego, el árbol interior y el árbol que no está en el triángulo que contiene al árbol interior, se concluye fácilmente con la respuesta.)

- Por último, si tres árboles están alineados y el cuarto no, la boca de riego debe situarse donde está el árbol de los alineados que está entre medias de los otros dos. (Se puede ver como un caso degenerado de los dos anteriores, en el que el árbol "interior al triángulo" / "exterior al triángulo" está exactamente en uno de los lados del triángulo.)

El jueves plantearemos un nuevo desafío.