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Basta una sola pesada de tornillos

Hay cuatro combinaciones posibles para resolver el problema usando la báscula una vez

Ya hay solución para el undécimo desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Varios niños del IES Alameda de Osuna de Madrid propusieron el problema (ver vídeo de la izquierda) y lo resuelven ahora (vídeo de la derecha): es posible hacerlo en una sola pesada eligiendo bien el número de tornillos que se extraen de cada caja (de hecho hay cuatro soluciones posibles). La ganadora de una biblioteca matemática como la que entrega cada semana EL PAÍS ha sido en esta ocasión Antonia Rodríguez Paredes, Montcada i Reixac (Barcelona). Este domingo, en el quiosco, por 9,95 euros con el periódico, La armonía es numérica (música y matemáticas), de Javier Arbonés y Pablo Milrud.

Recordemos el enunciado del problema: Tenemos seis cajas con 13 tornillos cada una. En tres cajas los tornillos pesan seis gramos cada uno y en las otras tres los tornillos pesan cinco gramos cada uno (todos los tornillos de cada caja pesan lo mismo), pero las cajas tienen todas el mismo aspecto. Tenemos también una báscula de precisión a nuestra disposición (no una balanza) donde podemos pesar los tornillos que queramos. ¿Cuál es el mínimo número de veces que necesitamos utilizar la báscula para saber qué cajas contienen los tornillos de cinco gramos y de qué manera se haría?

La solución es que puede conseguirse con una solo pesada. En ella incluiremos un número diferente de tornillos de cada caja (entre el 0 y el 13). Si el total de tornillos que pesamos es N, el peso será 5xN más el número de tornillos que hayamos usado de las 3 cajas con tornillos de 6 gramos.

Probemos primero con un tornillo de la primera, dos de la segunda, tres de la tercera... En total tendremos 21 tornillos en la báscula y, por tanto marcará 21 X 5 = 105 gr mas un gramo por cada tornillo de las cajas de 6 gramos que hayamos puesto. Si la báscula marcara 112 gr sabríamos que hay 7 tornillos de 6 gramos y, como 7 = 1 + 2 +4, los tornillos de 6 gramos estarían en las cajas a, b y d. Lo malo es que si la báscula marca, por ejemplo, 114 gr sabríamos que hay 9 tornillos de 6 gramos pero como 9 se puede escribir de muchas formas distintas como suma de tres de esos números (9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 2 +3 + 4) no podemos saber de qué cajas los he cogido.

Así que, para evitar confusiones, tenemos que conseguir 6 números entre 0 y 13 de manera tal que las sumas de tres de ellos sean siempre números distintos. Para ello se debe cumplir además que la suma de dos de ellos sean distintas (si por ejemplo en mi lista esta tengo 1, 2, 3, 4 y dos números más , como 1 + 4 = 2 + 3 usando otro de los números tendré dos ternas -grupos de tres- que suman lo mismo).

El desafío, tal y como está planteado, admite cuatro posibles soluciones: 0, 1, 2, 4, 7, 13 y su complementaria (restando de 13) 0, 6, 9, 11, 12, 13, que son las dos que aparecen en el vídeo, y también 0, 1, 2, 7, 10, 13 y su complementaria 0, 3, 6, 11, 12, 13. La primera, la que encuentran nuestros jóvenes presentadores, es la que requiere pesar menos tornillos. Decimos que hay sólo cuatro soluciones porque no importa de qué caja se tome cada número de tornillos. Si queremos tomar en consideración las 720 maneras en que podemos ordenar las cajas las soluciones serían 2880.

Se han recibido 1.040 respuestas, de las que el 55% son correctas, un 30% no han conseguido dar con la estrategia acertada y el 15% apuntan a que hay que buscar 6 números de manera que sus sumas 3 a 3 sean todas distintas (esto está bien), pero los números que dan no funcionan. Vale la pena señalar que algunos lectores apuestan por la base 2, lo que en principio es una buena idea porque permite resolver problemas más generales, y proponen como solución 0, 1, 2, 4, 8, 16 (o 1, 2, 4, 8, 16, 32). Pero en nuestro desafío cada caja tiene sólo 13 tornillos.

Queremos destacar la manera en que ha resuelto el problema, encontrando todas las soluciones, Rodrigo Rivas Costa, porque es un buen ejemplo de que el pensamiento abstracto y los métodos modernos de cálculo no están reñidos. Rodrigo empieza por tener la idea de que quizás pueda hacerlo en una pesada tomando un número adecuados de tornillos de cada caja. Observa que hay 20 maneras en las que pueden estar distribuidos los tornillos de 5 y 6 gramos, y que lo que necesita es que el peso de los tornillos que pone en la báscula sea distinto en cada uno de los 20 casos. Tiene por tanto que buscar 6 números entre 0 y 13 con esas condiciones.

En principio hay 14^6=7.529.536 colecciones de 6 números entre 0 y 13 pero, dice Rodrigo, el orden no importa y, además no puede haber dos números iguales en la lista porque se producirían repeticiones en las pesadas, así que sólo hay que probar con 3003 casos. Señala también que puede restar 5 gramos a cada tornillo y trabajar con pesos 0 y 1; por eso son las suma de 3 números las que deben ser distintas. Hasta aquí tenemos la idea inicial (que es lo más importante) y una serie de razonamientos abstractos (todo esto valdría en otras situaciones).

Dice ahora Rodrigo "Como 3003 es un número razonablemente pequeño, una selección de tornillos válida se puede buscar a mano, por tanteo, o con un programa de ordenador. He optado por escribir un programa de ordenador que recorra esas 3003 combinaciones, y así he encontrados todas las selecciones de tornillos válidas, que son 4 [las que hemos indicado anteriormente]".

José Luis Sánchez del Villar, como otros lectores, nos pregunta: "¿Os habéis acordado de marcar los tornillos antes de pesarlos o de no mezclar los de distintas cajas en el platillo de la báscula? Son idénticos (si no, bastaría una pesada para ver qué tipo de tornillo pesa 5 gramos) así que si se mezclan no habrá manera de separarlos." y propone "se pueden marcar con una lima: la marca se puede hacer todo lo pequeña que queramos para no afectar a la medición, o mejor todavía, se puede usar la lima de manera que las virutas caigan en el platillo, así la medida seguiría siendo correcta."

Belén, Dana, Daniel, Irene, Javier, Jimena y Patricia sí se habían percatado de este problema y habían pintado de distintos colores las cabezas de los tornillos, pero dificultades técnicas en la grabación impidieron mostrarlo. La solución al desafío es un ejemplo sencillo de Conjunto de Sidon, un tema activo de investigación.

El jueves plantearemos un nuevo reto.