El azar, el infinito y lo inmenso

Nos preguntábamos la semana pasada cuál es la probabilidad de que una circunferencia trazada al azar sobre una hoja de papel cuadriculado pase por alguno de los puntos de intersección de la cuadrícula. En el mundo real, donde incluso las finísimas líneas de un papel cuadriculado tienen un cierto grosor y sus puntos de intersección no son inextensos, la probabilidad es baja pero no nula, ni siquiera despreciable. Pero si hablamos de una cuadrícula y una circunferencia ideales, la probabilidad es 0.

Consideremos, para simplificar, que tomamos como centro de la circunferencia uno de los puntos de intersección. Tomando como unidad el lado de los cuadraditos de la cuadrícula, es fácil ver que si el radio no es un número entero, la circunferencia no pasará por ningún punto de intersección, pues, tomando ese centro como origen de unas coordenadas, la ecuación de la circunferencia será x² + y² = r², siendo r el radio de la misma. Y para que x e y sean enteros (como corresponde a los puntos de intersección), tiene que serlo r. Y la probabilidad de que un radio elegido al azar sea un número entero es 0, puesto que los números enteros son una fracción infinitesimal de los números reales.

Conviene señalar que “probabilidad 0” no es lo mismo que imposibilidad absoluta. Es absolutamente imposible sacar un 7 lanzando un dado con las caras numeradas del 1 al 6, pero no es imposible que una circunferencia trazada al azar pase por un punto de intersección de la cuadrícula.

El azar y la inmensidad del océano

La intuición nos engaña a menudo cuando jugamos con conceptos tan escurridizos como el azar, el infinito y lo inmenso. Hay cantidades tan enormes que, para nuestras limitadas capacidades perceptivas e imaginativas, se confunden con el infinito. Arquímedes asombró a sus contemporáneos calculando, en su Arenario, el número de granos de arena que cabían en el universo. Y en su relato de 1904 La biblioteca universal (que inspiró La biblioteca de Babel de Borges), Kurd Lasswitz calculó el número de libros escribibles (que ingenuamente podríamos pensar que es ilimitado).

Tendemos a pensar que los mayores números están en el lo muy grande, y por eso hablamos de “números astronómicos”; pero es más fácil hallarlos en el microcosmos, así como en la combinatoria de objetos tan cotidianos y reducidos como el ajedrez o el alfabeto.

Invito a mis sagaces lectoras/es a hacer una estimación “fermiana” (ver Los problemas de Fermi) del número de libros escribibles. Y también, puesto que este artículo saldrá el Viernes Santo, de la probabilidad de que al beber un vaso de agua ingiramos algunas de las moléculas de las lágrimas que derramó María ante el cadáver de Cristo; ¿cuántas ingeriremos, suponiendo que el ciclo del agua baraje las moléculas de forma homogénea y que María derramara un millar de lágrimas? (Un par de datos: en 18 gramos de agua -un mol- hay 6,022 x 10²³ moléculas, y en la Tierra hay unos 1.260 trillones de litros). 

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física,Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.