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Un famoso matemático octogenario propone una solución a un problema valorado en un millón de dólares

Los expertos son escépticos ante la demostración de la hipótesis de Riemann ofrecida por Michael Atiyah

Hipotesis de Riemann Ampliar foto
El matemático Michael Atiyah, durante una conferencia este año. Flickr

El reconocido matemático británico Michael Atiyah, de 89 años, presentó este lunes durante una conferencia en un congreso en Heidelberg (Alemania) la supuesta solución a uno de los problemas más famosos de la disciplina, la demostración de la hipótesis de Riemann, mediante la que el matemático alemán buscó en 1859 una solución a la distribución de los números primos. El reto que dice haber resuelto es uno de los siete problemas del milenio: enigmas matemáticos cuya solución premia el Clay Mathematics Institute (EE UU) con un millón de dólares. Desde que los problemas se fijaron en el año 2000, solo uno —la conjetura de Poincaré— ha sido desentrañado.

¿Qué es la hipótesis de Riemann?

Antonio Córdoba, director ICMAT

A mediados del siglo XIX y en tan solo ocho páginas, el célebre matemático alemán Bernard Riemann trazó la hoja de ruta para entender la distribución de los números primos. En concreto, Riemann quería responder a la pregunta: ¿cuántos primos hay menores que un número entero dado n? Cincuenta años después, y siguiendo el plan de Riemann, los matemáticos franceses Hadamard y De la Valleé-Poussin lograron demostrar que ese número está bien aproximado por el cociente n/(log(n)), ¿pero cuál es el error relativo que estamos cometiendo con esta aproximación? ¿Cuál es su estimación óptima? La hipótesis de Riemann (RH), formulada también en ese maravilloso artículo de ocho páginas, es la respuesta precisa: según (RH) el tamaño del error relativo decrece casi como el inverso de la “raíz cuadrada de n” y esa es su mejor estimación.

Una formulación equivalente se refiere a la llamada función zeta de Riemann, definida sobre los números complejos. Recordemos que un número complejo lo escribimos en la forma z = x+yi (i=raiz cuadrada de -1), donde los números reales x e y son respectivamente su parte real y su parte imaginaria. Según la HR, dentro de la llamada banda crítica, 0<Real(z) < 1, los ceros de la función zeta de Riemann están ubicados en la recta vertical Real(z) = ½.

Atiyah ha recibido por trabajos previos la medalla Fields y el premio Abel, galardones que a menudo se consideran equivalentes a los premios Nobel en el campo de las matemáticas. Su charla de este lunes provocó gran expectación porque ya en el programa del congreso se advertía de que presentaría una “demostración simple” de la hipótesis de Riemann a través de una nueva aproximación radical. Sin embargo, los expertos contactados por Materia, tras consultar un documento filtrado de cinco páginas con la firma de Atiyah en el cual expone su demostración, dudan o rechazan que el matemático haya alcanzado una solución.

Ricardo Pérez Marco, uno de los mayores expertos en la hipótesis de Reimann, asegura que es muy fácil pasar por alto errores en este problema y que el manuscrito de Atiyah “no es preciso y no está completo”. “A mi me envían [supuestas] demostraciones de la hipótesis de Riemann todos los meses, pero esta hace más ruido porque Atiyah es conocido. Sinceramente, no creo que tengamos una demostración aquí”, zanja el matemático. Atiyah todavía no ha publicado su demostración en una revista científica ni en el repositorio de manuscritos matemáticos Arxiv.

Antonio Córdoba, director del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), se muestra cauto: “Por lo que he podido observar en el vídeo de la presentación de Atiyah, su conferencia estaba dirigida a un público general. No me ha sido posible sacar en claro el nudo de su demostración, quizás porque no era la intención de Atiyah ofrecer los detalles necesarios dada la naturaleza de su audiencia. Espero, por tanto, a que la presentación se haga ante el foro adecuado de expertos que no necesiten tanto de los preámbulos y sí de los argumentos precisos”, dice. Y añade: “En cuanto al escrito de cinco páginas atribuido a Atiyah, tampoco me parece que tenga el nivel que se exige habitualmente en una publicación matemática”.

La hipótesis debe su nombre al alemán Bernhard Riemann (1826-1866) y tiene implicaciones para la comprensión de la distribución de los números primos, lo que, a su vez, puede tener repercusiones para las técnicas de seguridad informática. Para muchos expertos, este problema centenario es el más importante de todos. “Existe un gran número de teoremas que serían ciertos si es que la hipótesis de Riemann lo es”, señala Córdoba. “Es uno de los más importantes objetos del deseo matemático”.

La solución de la hipótesis de Riemann puede tener repercusiones para las técnicas de seguridad informática

Cuenta la leyenda que a principios del siglo XX, el matemático británico Godfrey Hardy escribió una postal a su amigo Harald Bohr en la que aseguraba haber encontrado la solución. Se embarcaba en un viaje tormentoso por el mar del Norte y Hardy, aunque era ateo, razonó que un dios no permitiría que se ahogase para dejar al mundo dudando si había sido el genio que demostró la hipótesis. Llegó a buen puerto, sin haber solucionado el problema, por supuesto. También el famoso matemático alemán David Hilbert afirmó, en respuesta a una pregunta, que si reviviese en 500 años, lo primero que haría sería preguntar si alguien había demostrado la hipótesis de Riemann.

“Si resuelves la hipótesis de Riemann te vuelves famoso. Si ya eres famoso, te vuelves infame”, dijo Atiyah durante su charla. “Nadie se cree ninguna prueba de la hipótesis de Riemann por su gran dificultad. Nadie la ha demostrado. ¿Por qué iban a demostrarla ahora? A menos que tengas una nueva idea, claro”, añadió. Atiyah propone su demostración de la hipótesis de Riemann haciendo alusión a un concepto sacado de la física, la función de Todd. Esgrime por reducción al absurdo que si hubiera un contraejemplo que refutase la hipótesis de Riemann, entonces habría una contradicción en la función de Todd y a partir de ello concluye que Riemann tenía razón.

En la charla, el matemático dedicó poco tiempo a su demostración. Hizo primero un repaso de la historia de la confrontación de los matemáticos con los números primos y señaló que la hipótesis de Riemann ofrecía la mejor posibilidad de encontrar una estructura en la distribución de los mismos. Al final, alguien del público le preguntó a Atiyah si estaba seguro de que ganaría el millón de dólares. Atiyah afirmó que lo estaba.

“Solo cabe esperar que nos provea con un manuscrito legible que supere la revisión de los expertos. Solo cuando ese proceso se haya completado podremos saber si tenemos, o no tenemos, humo blanco en este asunto”, concluye Córdoba.

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