Nuestras matemáticas podrían ser radicalmente diferentes

Las matemáticas han estado presentes a lo largo de toda la historia de la humanidad, o al menos de la que tenemos constancia, por lo que podrían parecer algo similar a una verdad absoluta del universo, inherente al ser humano. Sin embargo, esto podría no ser así. Estos asuntos son más elusivos, densos y controvertidos de lo que parecen, y hay autores que opinan que las matemáticas que estudiamos hoy en día son solo una entre muchas opciones, condicionada por la elección de unas definiciones u otras a lo largo de la historia.

Las matemáticas nacieron en el entorno cotidiano, como una herramienta para operar de manera eficaz sobre cantidades que se asignaban a objetos físicos: precios, distancias, longitudes, etc. Pero tras siglos de desarrollo, la propia disciplina se convirtió en objeto de estudio. Y en este proceso de abstracción fue necesario definir una base común que dotase de un carácter absoluto a la materia. Aquellos primeros lógicos buscaban un fundamento universal, pero encontraron no una sino muchas respuestas, todas ellas igual de válidas.

La lógica matemática nació en el siglo XIX, a caballo entre la filosofía y las matemáticas, para buscar los principios básicos que rigen el razonamiento matemático y sus objetos fundamentales. A mediados del siglo XX, la corriente principal defendía que las matemáticas tratan sobre objetos abstractos, que existen independientemente del mundo sensorial y de la mente, cuyas propiedades son eternas e inmutables, de la misma forma que las ideas en la caverna de Platón. De esta forma, el número “uno” existe, de forma universal, igual que la idea de “árbol” o “rojo”. No necesitamos verlos ni tocarlos para saber lo que son (son extrasensoriales), y sus propiedades parecen ser universalmente aceptadas hasta el punto de ser objetivas.

Sin embargo, esta concepción presenta problemas. Si los objetos son independientes de la mente y del mundo sensorial, todas sus propiedades, incluso las formales, también deberían serlo, y estar fijadas desde la definición. Pero los creadores del llamado análisis no estándar demostraron que existen diversos modelos de números naturales, muy distintos entre sí (aquí se muestra uno de ellos) y que satisfacen el sistema de axiomas de Peano (por tanto, igualmente válidos), y con propiedades formales diferentes.

¿Esto qué significa? Recordemos la película El show de Truman. Al tratar de buscar una explicación a la vida de Truman hay dos opciones: entenderla como una ‘vida normal’ (la que ve Truman) o como un reality show (lo que ven todos los demás). Formalmente, las explicaciones son distintas, pero las consecuencias prácticas para la vida de Truman son equivalentes en ambas explicaciones (al comienzo de la película).

En matemáticas, las consecuencias formales son tan importantes como las prácticas. Que aparezcan resultados distintos pone en peligro la concepción de los números naturales como objetos abstractos; ya que dependen de la construcción escogida. Siguiendo esta idea, los objetos matemáticos, de forma general, dependen del sistema escogido. Ahora bien, si no parece que no podemos establecer que un sistema es mejor que otro, ¿cómo se elige uno sobre el resto?

A finales del s. XVIII y principios del XIX se desarrolló una posible forma de evitar este problema: el estructuralismo. Esta concepción, defendida por el colectivo Bourbaki entre otros, prescinde de los objetos matemáticos y así evita atribuirles propiedades intrínsecas. En su lugar, se centra en las relaciones entre objetos. Por ejemplo, un número par se definiría como un número natural que es múltiplo de 2; la relación múltiplo de da lugar a la propiedad par. Según esta corriente, lo fundamental son las relaciones y los objetos matemáticos son tan solo el producto de estos nexos fundamentales.

Al tratar de buscar una explicación a la vida de Truman hay dos opciones: entenderla como una vida normal (la que ve Truman) o como un reality show (lo que ven todos los demás). Formalmente, las explicaciones son distintas, pero las consecuencias prácticas para la vida de Truman son equivalentes en ambas explicaciones

Esta idea cambió por completo el paradigma, y el estructuralismo se convirtió en la tendencia dominante en la filosofía de las matemáticas. Pero también tiene sus detractores. Con todo, el estructuralismo mantiene que las relaciones entre objetos existen y son reales, lo que nos lleva a preguntarnos, ¿qué nos permite conocerlas? Es complicado establecer vínculos entre nuestra experiencia y estas relaciones (abstractas), lo que dificulta hallar una respuesta a esta pregunta. En contraposición, ha cogido fuerza otra corriente en la filosofía de las matemáticas, que trata de prescindir completamente de objetos, relaciones y estructuras, manteniendo, cómo no, la capacidad explicativa de las matemáticas. Este “antirrealismo de los entes abstractos” se conoce como nominalismo y es hoy la principal postura rival al estructuralismo. Cada movimiento, además, tiene variantes, e incluso hay propuestas para combinarlas. Aunque los lógicos lleven cientos de años rompiéndose la cabeza, parece que el debate sobre los fundamentos matemáticos no ha hecho más que empezar..

Patricia Contreras es estudiante de doctorado en la Universidad Complutense de Madrid y miembro del ICMAT. Ágata Timón es responsable de Comunicación y Divulgación del ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

Coordinación: Ágata Timón.