La independencia (estadística) no tiene memoria

Apreciado lector, voy a ponerte en una situación hipotética y voy a pedirte que pienses en lo que harías. Imagina que, delante de ti, tiro una moneda 15 veces y en todas ellas obtengo cara. Antes de la siguiente tirada, te pido que apuestes por uno de los posibles resultados: cara o cruz (suponemos que la moneda no puede caer de canto). ¿Qué elegirías, cara o cruz?

Mientras piensas tu respuesta, y el razonamiento que te ha llevado hasta ella, voy a contarte una historia. Remontémonos algo más de 100 años, concretamente al 18 de agosto de 1913, y situémonos nada menos que en el casino de Montecarlo. En una de sus ruletas se produce una situación cuando menos curiosa: en una cierta jugada la bola cae en negro, en la siguiente vuelve a caer en negro, y lo mismo en la siguiente, y en la posterior…¡¡y así hasta 26 veces!! En 26 tiradas consecutivas la bola “eligió” un número correspondiente al color negro para asentarse. Si hubieses estado allí, ¿por qué color habrías apostado en la siguiente tirada?

Estadísticamente hablando, ambas situaciones pueden considerarse análogas en el sentido de que, en cada tirada, tenemos dos posibles resultados con exactamente la misma probabilidad (para simplificar el asunto, y para que quede más clara la idea que quiero transmitir con este artículo, vamos a eliminar la posibilidad de que la bola caiga en el cero, que en la ruleta no es ni rojo ni negro).

Vamos con la pregunta de la moneda. Quizás pienses que lo mejor sería elegir cruz para la siguiente tirada, o puede que creas que lo mejor es elegir cara. En realidad, si la moneda no está trucada, ambas opciones tienen la misma probabilidad de salir, independientemente de lo que haya salido en las tiradas anteriores. Y la clave es el concepto que acabamos de utilizar: independencia. Cada tirada es independiente de las anteriores, por lo que no está influida por lo que haya salido antes. Vamos, que la moneda no recuerda lo que salió en anteriores tiradas.

Pero han salido muchas caras seguidas, lo más probable es que en la siguiente salga cruz, ¿no? Pues no. Cierto es que “a la larga”, las frecuencias de cara y cruz tenderán a igualarse, pero, repito, “a la larga”, después de muchísimas tiradas. En principio, y siempre suponiendo que la moneda no está trucada, en cada tirada es igual de probable que salga cara o que salga cruz, sin que los resultados obtenidos en tiradas anteriores tengan ninguna influencia sobre lo vaya a salir después.

Lo habitual es que mucha gente, ante este sencillo juego, tienda a decir que es más probable que salga cruz porque, al ser 50-50, el número de caras y cruces acabará siendo igual (o, al menos, muy parecido). Esto, que se conoce como la falacia del jugador, tampoco es cierto. Una cosa es que la frecuencia tienda a igualarse y otra es que el número de caras y cruces también lo haga.

Para ver que esto no tiene por qué ser así, echad un ojo al siguiente caso. Imaginad que hemos tirado la moneda 1000 veces, y hemos obtenido 578 caras y 422 cruces. Tendríamos entonces una frecuencia de 578/1000=0’578 para cara y una frecuencia de 422/1000=0’422 para cruces, y la diferencia entre el número de caras y cruces sería 578-422=156. Seguimos tirando, llegamos a las 10000 tiradas y supongamos que obtenemos 5311 caras y 4689 cruces. En este caso, las frecuencias de ambas se van igualando y se acercan más que antes al “esperado” 0’5 (concretamente, 0’5311 para cara y 0’4689 para cruz), pero la diferencia entre el número de caras y cruces, que ahora es 5311-4689=622, ha crecido sensiblemente. Por tanto, que las frecuencias tiendan a ser iguales ni significa, ni mucho menos, que el número de apariciones de cada uno de los dos posibles resultados tienda también a ser igual.

Si no están trucadas, ni la moneda ni la ruleta recuerdan lo que salió en otras jugadas, cada tirada es independiente de las anteriores.

Y lo mismo pasa con el ejemplo del casino de Montecarlo. Partiendo de que la ruleta no está trucada (y quitando la influencia del 0), el rojo y el negro tienen la misma probabilidad de salir (hay 18 números rojos y 18 números negros), y la ruleta no recuerda lo que salió en tiradas anteriores, por lo que no hay ninguna razón para pensar que en una tirada concreta es más probable que salga un color porque en las anteriores salió el otro.

Cuando comenzó a salir negro tantas veces seguidas, la gente comenzó a pensar que el rojo debía salir ya para comenzar a “igualar” el número de rojos y negros, con lo que las apuestas al rojo comenzaron a crecer. Pero eso no ocurrió en 26 tiradas consecutivas. ¿Conclusión? El casino ganó un montón de pasta en ese rato.

Como decíamos antes, la clave de todo esto es la independencia estadística. En ambos casos, cada tirada (de moneda o de ruleta) es independiente de la anterior o anteriores, no está influida por ellas, por lo que, por decirlo de alguna manera, en cada tirada partimos desde cero. Y hay muchos otros casos en los que esto ocurre, y por ello, en ciertas situaciones, no debemos dejarnos llevar por las apariencias o por las intuiciones. Debemos analizar ciertas cosas con una buena perspectiva estadística, porque si no es así posiblemente acabemos engañados y, si hablamos de juegos de azar, sin blanca.

Y, para finalizar, un pequeño apunte. Volvamos a, por ejemplo, el caso de la ruleta. Después de tantas tiradas saliendo negro, no sería descabellado pensar que la ruleta está trucada de alguna forma para que salga más el negro que el rojo, por lo que, pensando mal, tendría más sentido volver a apostar al negro que apostar al rojo. Pero todos sabemos que en los juegos de azar ese tipo de cosas, esos trucajes, no ocurren, ¿verdad?

Seguro que a algunos de vosotros se os ocurren otros ejemplos parecidos a los dos que he comentado en el artículo. Habladnos sobre ellos en los comentarios, os lo agradeceremos mucho.