El dominó binario de Gardner

Es fácil ver que una cadena continua con las 28 fichas de dominó siempre empezará y terminará con el mismo número. Para facilitar las cosas, quitemos las fichas dobles, pues luego podremos insertarlas en la cadena entre dos cualesquiera del mismo valor. En las 21 restantes tenemos seis veces cada uno de los siete números, del 0 (blanco) al 6, y para formar con ellas una cadena continua hemos de establecer 20 uniones de dos números iguales, para lo cual utilizamos 40 de los 42 números disponibles, y como esos 40 forman 20 parejas de números iguales, los dos que quedan libres en los extremos también han de ser iguales. Por lo tanto, toda cadena continua formada con las 28 fichas puede cerrarse uniendo sus extremos, y si quitamos una ficha cualquiera, con las 27 restantes formaremos una cadena que podría cerrarse con la ficha ya restada, por lo que podremos saber cuál falta sin más que echar un rápido vistazo a la cadena. Si, pongamos por caso, en un extremo de la cadena hay un 4 y en el otro un 3, sabemos que la ficha que falta es la 3-4.

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Un lector indicó (ver comentarios de la semana pasada) que el problema había sido tratado, entre otros, por Martin Gardner, y, efectivamente, hay un amplio e interesante capítulo dedicado al dominó en su maravilloso libro Circo matemático (Alianza, 1983); y, por si fuera poco, en la cubierta del libro figura el mismo esquema de fichas que utilicé como ilustración de mi artículo. Acudo a menudo al maestro Gardner en busca de inspiración, pero en este caso la coincidencia ha sido involuntaria.

Coincidencia involuntaria, pero afortunada, pues me ha llevado a releer su texto después de muchos años, lo que me permite traer a colación su interesante manera de abordar la cuestión de las cadenas de fichas. Gardner parte del caso elemental de un dominó de solo dos números, 0 (blanca) y 1, y por tanto tres fichas: 0-0, 0-1 y 1-1. En este caso trivial, es evidente que solo hay una cadena posible: 0-0/0-1/1-1, o dos si las consideramos distintas según que empecemos por un extremo o por el otro (dicho de otro modo, hay dos “partidas” posibles utilizando todas las fichas).

Gardner señala que el número de cadenas posibles es igual al número de formas distintas en que podemos recorrer un grafo en el que los puntos son las fichas dobles y las líneas que los unen son las fichas que combinan los valores de los puntos unidos; así, en el caso trivial del “dominó binario”, el grafo lo forman los puntos 0-0 y 1-1 unidos por el segmento 0-1, grafo elemental que solo se puede recorrer de una manera (o dos si tenemos en cuenta el sentido).

Menos trivial es el “dominó ternario” formado por las piezas 0-0, 0-1, 0-2, 1-1, 1-2 y 2-2. En este caso el grafo es un triángulo, y aunque el recorrido también es básicamente único (0-0, 0-1, 1-1, 1-2, 2-2, 2-0), podemos unir sus extremos, como en el caso de las 28 fichas, formando un anillo que luego se puede romper por seis puntos, lo que da lugar a otras tantas cadenas diferentes.

En cuanto al “dominó cuaternario” (de 0-0 a 3-3), sus diez fichas nos deparan una sorpresa. ¿Cuál es?

En el caso del dominó convencional de 28 fichas, el correspondiente grafo es un heptágono con todas sus diagonales, que se puede recorrer formando 7.959.229.931.520 circuitos cerrados distintos, cada uno de los cuales, a su vez, se puede abrir por 28 puntos diferentes, dando lugar a más de 200 billones de cadenas.

Y la cosa no acaba aquí: el de 28 fichas es el dominó más conocido, pero no el único ni el más complejo. En Latinoamérica es muy popular el dominó cubano de 55 fichas (de 0-0 a 9-9), superado en tamaño y complejidad por el “doble doce” (de 0-0 a 12-12), que tiene… ¿cuántas fichas?