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Dominar el dominó

¿Cuántas cadenas distintas se pueden formar con las 28 fichas de dominó?

Piezas de dominó
Piezas de dominó

Hay distintas maneras de abordar el problema de las banderas planteado la semana pasada, y tal vez la más sencilla sea considerar que la franja central puede ser de cualquiera de los 6 colores y en cada caso tenemos 5 opciones para cada franja lateral (pues dos franjas adyacentes no pueden ser del mismo color, ya que en tal caso se convertirían en una sola franja de doble anchura); en total, 6 x 5 x 5 = 150 banderas de tres franjas verticales y otras tantas de tres franjas horizontales.

Cabría objetar que la bandera azul/blanca/roja es la misma que la roja/blanca/azul, y así es si las consideramos rectángulos de tela sueltos, pues una es el reverso de la otra (o la otra girada 180º); pero las banderas siempre se unen al mástil por el mismo color en el caso de las de franjas verticales, y siempre se sitúan con el mismo color arriba en el caso de las de franjas horizontales. Así, la bandera francesa es azul/blanca/roja (empezando a partir del mástil), distinta de una hipotética bandera roja/blanca/azul; y la bandera alemana es negra/roja/amarilla (empezando por arriba), y no amarilla/roja/negra.

Pasar o no pasar, esa es la cuestión

La combinatoria de letras y colores dio paso, en la animada sección de comentarios, a la de las fichas de dominó, y un problema aparentemente sencillo originó un interesante debate (ver comentarios de las dos últimas semanas). Este es el problema, por si alguien quiere retomarlo: En una partida de dominó convencional (cuatro jugadores con siete fichas cada uno), el jugador que está a tu izquierda abre con el seis doble y tú pasas. ¿Has tenido muy mala suerte o era relativamente probable que te ocurriera?

Y aprovechando que tenemos las fichas sobre la mesa, veamos otro problema en cierto modo opuesto al anterior (en vez de pasar a la primera de cambio, ahora nadie pasa en ningún momento):

¿Cuántas cadenas distintas (respetando las reglas del juego) se pueden formar con las 28 fichas de dominó? O dicho de otro modo: ¿Cuántas partidas distintas se pueden jugar sin que nadie pase? (En puridad, la partida se acabaría cuando el jugador que abrió colocara su última ficha; pero vamos a suponer que los otros tres también terminan de colocar las suyas).

Suponiendo que falte una ficha, ¿se puede, y en qué casos, formar una cadena continua con las 27 restantes? Y una vez formada la cadena, ¿cómo se puede identificar fácilmente la ficha faltante?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas o El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.

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