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Trío de musas

¿De cuántas maneras distintas pueden salir a pasear las nueve musas en grupos de tres sin repetir compañeras?

'Atenea y las musas', de Frans Floris de Vriendt. Ampliar foto
'Atenea y las musas', de Frans Floris de Vriendt.

Para resolver mentalmente el problema del gavilán y las palomas propuesto la semana pasada, la clave está en darse cuenta de que el número de palomas ha de ser divisible por 4, ya que uno de los sumandos es “la mitad de la mitad” de dicho número. Probando con 40 (ya que, además, el número de palomas ha de ser algo inferior a la mitad de 100) obtenemos 40 + 40 + 20 +10 + 1 = 111, por lo que la solución ha de ser el anterior múltiplo de 4, que es 36; efectivamente, 36 + 36 + 18 + 9 + 1 = 100.

En el problema de las cien bolas numeradas hay una pequeña trampa en forma de dato sobrante, ya que el número total de bolas es irrelevante: 5 bolas pueden ordenarse de 5 x 4 x 3 x 2 = 120 maneras distintas y en solo una de esas ordenaciones están las bolas de menor a mayor, por lo que la probabilidad pedida es de 1/120.

Para hallar el mayor número obtenible multiplicando factores que sumen 100, hay que tener en cuenta varias cosas: es obvio que hay que descartar el 1, puesto que deja igual el producto; el 4 se puede sustituir por dos 2; cualquier factor n mayor que 4 daría un producto mayor sustituyéndolo por 2 y n-2. Por lo tanto, todos los factores serán 2 y 3, y solo habrá dos 2, ya que el producto de dos 3 (3 x 3 = 9) es mayor que el de tres 2 (2 x 2 x 2 = 8). Por lo tanto, el número buscado es 332 x 22 = 7.412.080.755.407.364.

El del rompecabezas es uno de esos problemas que resulta trivial si se enfoca adecuadamente, pero en el que la intuición puede confundirnos. Basta darse cuenta de que con cada movimiento disminuye en 1 el número de bloques que tenemos en ese momento, independientemente de que sean bloques de una sola pieza o de varias; como partimos de 100 piezas, harán falta 99 movimientos. 

Las musas de tres en tres

El matemático francés Édouard Lucas, conocido sobre todo por su Torre de Hanói y sus trabajos sobre la sucesión de Fibonacci, se ocupó asiduamente de lo que él denominaba “recreaciones matemáticas”, que recopiló en varios volúmenes de obligada consulta para los aficionados; en ellos, y en la línea de algunos problemas de distribución y combinatoria vistos recientemente, podemos encontrar, entre otros, el problema de las tríadas de musas, que puede formularse así:

Las nueve musas han ido a pasear de tres en tres un cierto número de veces, de tal manera que cada una ha paseado con todas las demás una y solo una vez. ¿Cómo lo han hecho?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos Maldita física, Malditas matemáticas El gran juego. Fue guionista de La bola de cristal.

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