El número más grande jamás citado

Piensa un número grande, muy grande, el número (con algún nombre o significado) más grande del que hayas visto, leído u oído algo. Quizás te haya venido a la cabeza un billón, que es un 1 seguido de 12 ceros. Sí, es grande, pero seguro que también has escuchado a alguien nombrar al trillón, que es un millón de billones (formado entonces por un 1 seguido de 18 ceros) y que, por tanto, es mayor que un billón.

Pero seguro que muchos habréis pensado en otros más grandes, como el googol (o gúgol). Este número está formado por un 1 seguido de 100 ceros y, según parece, inspira el nombre del buscador más famoso de internet (ya hemos comentado por aquí que los chicos de Google son bastante frikis).

Sí, este número es muy grande, mucho mayor que el número de átomos del Universo conocido, 10⁸⁰. Pero en realidad solamente tiene 101 cifras, por lo que es sencillo de expresar con la notación de exponentes habitual: 10¹⁰⁰.

Antes de seguir, es interesante aclarar que en este artículo hablamos de números naturales conocidos. Está claro que los números naturales son infinitos, por lo que, en teoría, podríamos escribir un número todo lo grande que quisiéramos, y después de escrito podríamos escribir otro mayor sumándole 1, multiplicándolo por 7 o elevándolo al cuadrado. La intención de este artículo es hablar de números de los cuales conozcamos su descripción y que tengan cierta relevancia dentro de las matemáticas.

Aclarado esto, volvamos a los números. Los conocemos mucho más grandes que el googol, y en este blog hemos hablado de ellos: algunos primos de Mersenne. Concretamente, el más grande que conocemos tiene más de 22 millones de dígitos. Como decíamos en ese artículo, un número descomunal…

…pero todavía se puede expresar de manera cómoda con la notación que solemos utilizar para los exponentes:

Con el protagonista del artículo de hoy no vamos a tener tanta suerte, es tan grande que la notación exponencial que conocemos se nos queda corta, por lo que necesitaremos una forma nueva de escribir las operaciones habituales. Hablamos del número de Graham.

Antes de hablar de él, vamos a hacer algún comentario sobre el contexto en el que apareció, aunque no daremos muchas explicaciones sobre el mismo. Nos situamos en la rama conocida como teoría de Ramsey y nos planteamos el siguiente problema:

Consideramos un hipercubo de dimensión n y conectamos cada pareja de vértices, obteniendo un grafo completo de 2ⁿ vértices. Después, coloreamos cada arista de negro o rojo. ¿Cuál es el menor valor de n para el que toda manera de colorear las aristas necesariamente nos proporciona un subgrafo completo de un solo color con cuatro vértices que forman un plano?

El problema es complicado de entender, y más aún de resolver, pero en este artículo no nos interesa profundizar en él. La cuestión es que Ronald Graham y Bruce Rothschild demostraron que el problema tenía solución, y dieron una cota de la misma. Más adelante, en un artículo no publicado, Graham rectificó esa cota al alza, que a partir de ahí (gracias también a que Martin Gardner habló sobre ella en su famosa columna en Scientific American) se comenzó a llamar número de Graham.

Bien, así que este número es una cota superior de un cierto valor que aparece en una demostración matemática, por lo que en cierto modo es importante. Pero, ¿cuál es exactamente ese número? Vamos a verlo.

Como comentábamos unos párrafos más arriba, la notación que usamos habitualmente para describir número naturales se nos queda corta, por lo que necesitamos una nueva forma de escribir números. Esta nueva operación se denomina notación flecha de Knuth, en honor a su inventor, Donald Knuth. Veamos en qué consiste.

Todos sabemos que cuando escribimos 4³ lo que hacemos es abreviar la operación 4 · 4 · 4. Es decir, multiplicamos la base, 4, el número de veces que dice el exponente, 3. Bien, pues vamos a cambiar la forma de escribir esa operación: ahora es 4↑3.

Comencemos a generalizar. Si con una flecha multiplicamos la base el número de veces que diga el exponente, ¿cómo definiríamos la operación que quedaría al poner dos flechas? Pues muy sencillo: dos flechas implican operar “flecha” el número de la izquierda la cantidad de veces que indique el número de la derecha. Es decir, lo siguiente:

4↑↑3 = 4↑(4↑4)

Es decir, operamos flecha el número 4 (izquierda) tres veces (derecha). ¿Y tres flechas? Pues, siguiendo el razonamiento anterior, tres flechas significan operar “dos flechas” el número de la izquierda la cantidad de veces que diga el de la derecha, que luego a su vez se pueden desglosar cada una de ellas en una sola flecha:

4↑↑↑3 = 4↑↑(4↑↑4) = 4↑↑(4↑(4↑(4↑4))) = …

Y así podríamos seguir poniendo flechas y definiendo cada una de las operaciones en función de la anterior: cuatro flechas se desglosarían en varias tres flechas, cinco flechas en varias cuatro flechas, y así sucesivamente.

Estas “operaciones flecha” hacen que los números que vamos obteniendo con cada una de ellas crezcan de una manera bestial conforme añadimos flechas. Para intentar que os hagáis una pequeña idea, aquí os dejo los valores de algunas de ellas. Tened en cuenta que he usado números muy pequeños, imaginad los resultados que podrían salir con números más grandes:

Bien, vayamos ya (por fin) a nuestro número de Graham, que llamaremos G. Graham lo describió de la siguiente forma:

· Construimos 3↑↑↑↑3, y lo llamamos g₁. Teniendo en cuenta que 3↑↑↑3 es una torre de exponentes que contiene 7625597484987 treses, no os digo nada sobre cuántos treses tiene este número g₁.

· Ahora, llamamos g₂ al número 3↑↑…(g₁ flechas)… ↑↑3. Como g₁ es enorme, colocar g₁ flechas es una barbaridad. Para calcularlo, habría que quitar una flecha y colocar tres treses con una flecha menos; después quitar otra flecha de cada una de las que han quedado y hacer las operaciones necesarias con una flecha menos, y así sucesivamente hasta que lleguemos a una flecha. Vamos, un número DESCOMUNAL.

· En el siguiente paso, llamamos g₃ al número 3↑↑…(g₂ flechas)… ↑↑3. Si g₂ era ya algo realmente grande, meter g₂ flechas da un número que no podemos ni imaginar.

· Continuamos así hasta g₆₄. Es decir, g₆₄=3↑↑…(g₆₃ flechas)… ↑↑3. Pues éste es G, el número de Graham. Si los anteriores eran grandes, enormes, descomunales, inimaginables…imaginad cómo puede ser éste…

…o mejor no, mejor no intentéis imaginarlo, es absolutamente imposible hacerse una mínima idea de la auténticamente bestial magnitud de este número de Graham.

¿Cuál fue el razonamiento que llevó a Ronald Graham a obtener semejante monstruosidad de número? Pues la verdad es que no lo sé, y sinceramente no me importa. Saber de la existencia de este número me llevó a conocer una nueva curiosidad matemática y también a descubrir una nueva manera de representar números muy muy grandes. Para mí, eso es suficiente.

Actualmente, la cota para este problema es más baja, aunque sigue requiriendo de la notación flecha de Knuth para describirla. Por otra parte, en algunas otras demostraciones han aparecido valores de ciertas funciones “extrañas” que, según parece, son números mayores que este número de Graham, pero es relativamente reciente. En la actualidad, podemos decir que el número de Graham sigue ocupando el primer puesto en lo que respecta a magnitud de un número aparecido en una demostración matemática. Y, como hemos podido ver a lo largo de este artículo, ese primer puesto es total y absolutamente merecido.