(Creemos que) Todos los números están en Pi

Cuando pregunto en clase sobre cuáles son los números naturales, alguno de mis chicos ha dicho en alguna ocasión algo como esto:

Pues los números normales, los de toda la vida

Aunque decir que son “los de toda la vida” incluso podría ser una más o menos buena descripción en un contexto informal (por algo se llaman “naturales”), lo de llamarlo “números normales” no es acertado. Y no lo es porque en matemáticas un número normal es otra cosa que posiblemente ellos, mis chicos, no lleguen a conocer nunca (a menos que lean este artículo o algún otro de lo que se pueden encontrar sobre este tema).

Y ésta es la cuestión que vamos a tratar hoy, los números normales. Por ello, lo primero que vamos a hacer es dar una definición de este tipo de números:

Un número normal es un número real que cumple que en su infinita expansión decimal todos los números de una cifra aparecen con la misma frecuencia, todos los números de dos cifras aparecen también con igual frecuencia, y lo mismo ocurre con los de tres cifras, los de cuatro, etc. Es decir, los dígitos de dicho número están uniformemente distribuidos.

Ciñéndonos a base 10 (que es la base en la que nosotros solemos representar los números), en un número normal los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8 y 9 aparecen con una frecuencia de 1/10, las cadenas de números 00, 01, 02, … ,09, 10, 11, 12, … , 99 lo hacen con frecuencia 1/100, y así sucesivamente (no nos meteremos en este artículo con otras bases de numeración).

A partir de esta definición, es sencillo ver que en los dígitos de un número normal podremos encontrar cualquier secuencia finita de números, sea cual sea su extensión (evidente: si todas las de dicha extensión aparecen con la misma frecuencia, entonces todas aparecen alguna vez). Y como cualquier cosa puede codificarse como una secuencia numérica finita, entonces podemos decir que todo lo que conocemos y lo que conoceremos se encuentra dentro de un número normal: tu fecha de nacimiento, el día de tu fallecimiento, la próxima carta que alguien escribirá a la persona amada, el ganador del Nobel de Medicina del año próximo o el libro (completo) que será líder de ventas dentro de 10 años. Todo eso, y todo lo que se os ocurra, se puede encontrar dentro de un número normal.

Posiblemente esto es lo que motivó que hace un tiempo se pusiera de moda en internet el siguiente meme relacionado con el número Pi. En él se dice, básicamente, que como Pi es un número con infinitos decimales y dichos decimales no tienen un patrón de repetición entonces toda la información que existe y existirá puede encontrarse en Pi. Vamos, que dan a entender que el hecho de que Pi tenga infinitos decimales no periódicos (vamos, que sea irracional) implica que Pi sea normal…pero en realidad no se sabe si Pi es normal o no.

Que un número irracional no tiene por qué ser un número normal se sabe desde hace tiempo, y es bastante sencillo construir números irracionales que no son números normales. Por poner un ejemplo, el número 0’101001000100001…, en cuya parte decimal vamos añadiendo un cero más después de cada 1, tiene infinitos decimales (lo hemos construido así) y no hay un patrón de repetición en ellos. Por tanto, estamos antes un número irracional que, evidentemente, no es un número normal, ya que, por ejemplo, el 2 nunca aparece.

Por ello, que Pi sea irracional no nos asegura que sea normal, pero tampoco que no lo sea. Como decíamos antes, no se sabe si Pi es normal o no, pero se cree firmemente que Pi es un número normal, ya que analizando muchísimos decimales de Pi se ha visto que la frecuencia de aparición de los números de un dígito es prácticamente igual, que las de las cadenas de dos dígitos también son esencialmente iguales, y que lo mismo ocurre con el resto de cadenas de dígitos. Pero, por desgracia, esto no nos sirve para darle a Pi la categoría de número normal, ya que en matemáticas se necesita de una demostración para asegurarlo (o descartarlo), y eso es precisamente lo que todavía nos falta a día de hoy.

Pero Pi no es el único número irracional “famoso” del que se cree que es normal. También ocurre con el número e, con √2 o con ln(2). Se piensa que son números normales, pero de ninguno de ellos tenemos demostración a favor o en contra de esta creencia.

Llegados a este punto, es razonable hacerse la siguiente pregunta: ¿hay algún número del que se sepa que es normal? Pues la respuesta es afirmativa: sí, se conocen números normales. Por ejemplo, el número

0’123456789101112131415…

construido concatenando los números naturales en sus cifras decimales es un número normal en base 10 (no se sabe si lo es en otras bases). Dicho número se conoce como el número de Champernowne, ya que fue David Champernowne quien demostró su normalidad en su trabajo The construction of decimals normal in the scale of ten.

También es normal en base 10 (y, en este caso, en toda base b > 1) el conocido como número de Copeland-Erdős (hecho demostrado por Arthur Copeland y Paul Erdős en 1946), que se obtiene concatenando en sus decimales todos los números primos en base 10:

0’2357111317192329…

De este último hemos comentado que es normal en cualquier base. Como ya dijimos en los primeros párrafos, no nos vamos a meter con otras bases de numeración, pero sí me parece interesante comentar que cuando un número es normal en una base b se le suele llamar b-normal, y que cuando lo es en toda base b > 1 se le llama absolutamente normal.

No se conocen muchos más ejemplos explícitos, por lo que cabría preguntarse por cuántos números normales existen. Bien, pues desde 1909 se sabe que hay una cantidad infinita no numerable de números normales. Vamos, que hay muchísimos más números normales que números que no lo son (más concretamente, casi todo número real es normal). Esto, que fue demostrado por Émile Borel, choca bastante con el hecho de que es muy complicado encontrar un número normal. Se puede decir que los que se conocen han sido creados para ser normales. Además de los comentados, es interesante reseñar que fue Waclaw Sierpinski quien dio el primer ejemplo de número absolutamente normal en 1917, y que Verónica Becher y Santiago Figueira demostraron en 2002 que existen números absolutamente normales computables (aunque no se conocen ninguno de sus dígitos…curioso, ¿verdad?).

Durante todo el artículo, hemos estado hablando de números irracionales. Pero, ¿qué ocurre con los racionales? ¿Pueden ser normales? Pues la respuesta es negativa: ningún número racional puede ser normal, y es sencillo de demostrar. Si tiene una cantidad finita de decimales, es bastante claro que no puede serlo (habrá cadenas de números que ni siquiera aparecerán). Y si tiene infinitos decimales, entonces tendrá un período, y esto hace que no todas las cadenas de una cierta cantidad de dígitos aparezcan con la misma frecuencia (por ejemplo, si el período tiene 5 dígitos, no todas las cadenas de 6 dígitos aparecerán con la misma frecuencia).

Descartados los racionales, si alguien se ha preguntado si existen números irracionales que no sean normales en ninguna base le respondo: sí, existen números irracionales que no son normales en ninguna base, y se denominan números no-normales o anormales. El primero fue encontrado por Greg Martin. Su trabajo, Absolutely abnormal numbers, puede verse aquí.

Otro resultado interesante sobre números normales fue demostrado por Davenport y Erdős en Note on normal decimals. Dicho resultado dice que si f(x) es un polinomio que da valores positivos para x=1, x=2, x=3, etc., entonces el número 0’f(1)f(2)f(3)… es un número normal. Esto nos lleva, por poner un ejemplo, a que el número

0’149162536496481…

que se obtiene concatenando los cuadrados de los naturales en los decimales es un número normal (tomando f(x)=x²). Y lo mismo pasaría con

0’11681256625…

que sale de concatenar las potencias cuartas.

Y, cómo no, un tema así tenía que tener alguna conjetura asociada a él. La más interesante, sin duda, es la que nos dejó Borel. Dice lo siguiente:

Todo número irracional algebraico es normal

Esto, que por ejemplo resolvería la duda de si √2 es normal (lo sería si la conjetura es cierta), a día de hoy sigue sin respuesta.

Para quien quiera leer algo más sobre el tema, recomiendo Normal numbers are normal. Y quien quiera jugar un poco, puede buscar cadenas de dígitos entre los primeros doscientos millones de dígitos de Pi en esta web. Por ejemplo, podéis buscar vuestra fecha de nacimiento y decirnos en los comentarios dónde está situada, a ver a quién le aparece primero.