Manhattan, distancias y “el juicio de Pitágoras”

Creo que habrá poca discusión en el hecho de que la distancia, se entiende que la más corta, entre dos puntos en una superficie plana es la línea recta que une dichos puntos (aunque, recordemos, no sea la más rápida). Por tanto, si queremos calcular la distancia entre dos puntos en una ciudad, simplemente tendremos que medir el segmento de recta que une dichos puntos.

Vale, la Tierra no es plana (de hecho, no se puede representar fielmente en un plano), pero lo que sí es cierto que un “trocito” pequeño (es decir, “localmente”) sí que “se parece” a un plano, por lo que podemos hablar de la línea recta de toda la vida en una ciudad y nos evitamos hablar de geodésicas y demás.

Bueno, seguimos con lo que estábamos. Decíamos que la distancia entre dos puntos en una ciudad sería lo que mida la línea recta que une ambos puntos. Al menos eso dice la teoría, porque en la práctica normalmente no podremos “recorrer” dicha línea recta, a no ser que tengamos la inusual cualidad de atravesar paredes y edificios.

Pongamos un ejemplo. He tomado una imagen de La Carolina (Jaén) sacada de Google Maps y he marcado dos puntos en dos de las calles:

Aunque sobre el papel podríamos unirlos con una línea recta (en rojo en la siguiente imagen), es evidente que en realidad no podríamos recorrer ese camino, por lo que tendríamos que ir recorriendo calles según el propio mapa. En la imagen podéis ver dos de esos caminos posibles (en verde y en azul):

De hecho, esos dos caminos son mínimos, en el sentido de que ambos tienen longitud mínima en esta nueva manera de calcular la distancia. Esta manera de medir distancias se denomina distancia Manhattan, y, de forma más general, nos dice cuál es la distancia entre dos puntos en una cuadrícula de “calles” (líneas rectas) y “edificios” (cuadros rodeados por líneas rectas), tipo ciudad (el nombre de Manhattan es, precisamente, por el diseño en forma de cuadrícula que tienen la mayoría de sus calles).

Matemáticamente, si tomamos dos puntos p y q en una cuadrícula con coordenadas p=(p₁,p₂) y q=(q₁,q₂), la distancia Manhattan entre dichos puntos es la suma de los valores absolutos de las diferencias entre las coordenadas. Es decir:

d(p,q)=|q₁-p₁|+|q₂-p₂|

En la imagen, podéis ver una cuadrícula en la que tenemos dos puntos unidos con una línea recta (en verde), que corresponde con la distancia habitual (la euclídea), y varias maneras de unir ambos puntos con un camino mínimo siguiendo las calles de la cuadrícula (lo que sería la distancia Manhattan entre ambos puntos). Podéis profundizar sobre este tema, conocido también como geometría taxicab, en este enlace.

Y ahora lo que se estará preguntando más de uno: ¿qué tiene que ver todo esto con un juicio? Vamos con la historia que me ha llevado a escribir este artículo.

Corría el año 2002 cuando James Robbins es detenido precisamente en Manhattan, concretamente en la esquina de la Octava Avenida con la Calle 40, por venta de drogas. Además, su caso tenía como agravante que lo hizo a menos de 1000 pies de un colegio, el Holy Cross, situado en la Calle 43.

En un intento de eliminar dicho agravante, los abogados de Robbins echaron mano de la distancia Manhattan. En la imagen siguiente podéis ver los dos puntos, la esquina en la que detuvieron a Robbins y el colegio, y el camino de mínima distancia según la distancia Manhattan:

Tomar esta distancia como referencia eliminaba el agravante de los 1000 pies, ya que la longitud que separaría en este caso ambos puntos era de 1254 pies: los 764 pies que habría que recorrer de la Octava Avenida antes de girar en ángulo recto y los 490 pies que recorreríamos de la Calle 43 hasta llegar al Holy Cross.

Pero no sirvió. El juez, entiendo yo, consideró que esa distancia máxima era de un radio de 1000 pies, por lo que habría que calcular la longitud que separa ambos puntos en línea recta. ¿Cómo calcular dicha longitud? Pues con los datos anteriores es sencillo hacerlo utilizando el teorema de Pitágoras. Los dos recorridos anteriores serían los catetos de un hipotético triángulo rectángulo, por lo que la línea recta que buscamos sería la hipotenusa de dicho triángulo, como puede verse en la imagen siguiente:

Usando este teorema, tenemos que 764²+490²=823796, cuya raíz cuadrada es 907.63 pies, que corresponde con la distancia en línea recta entre ambos puntos. Como esta longitud es menor que 1000 pies, el agravante de proximidad no se pudo eliminar, y a Robbins le cayeron de 6 a 12 años de cárcel.

Este caso, supongo que por lo curioso del asunto, tuvo cierta relevancia en su momento, llegando a aparecer en el New York Times. Yo no conozco más casos parecidos, en los que las matemáticas sean tan relevantes como para determinar la condena de un acusado, pero igual vosotros tenéis información sobre alguno más. Si es así, podéis utilizar los comentarios para hablarnos de ello.