Lo que las matemáticas nos enseñan de las epidemias

Las epidemias han sido recurrentes a lo largo de la historia de la humanidad, amenazando la supervivencia de naciones enteras. Podemos remontarnos a las plagas del Antiguo Egipto a mitad de la Edad de Bronce, a las de la Atenas de Pericles, a la peste negra en Europa que acabó con 25 millones de personas, las epidemias en América Central en el siglo XVI con 13 millones de muertos, o la gripe española de 1918 que acabó con 40 millones de vidas en todo el mundo. En tiempos recientes hemos asistido con temor a la emergencia del sida o el ébola, mientras que regiones enteras del planeta sufren de manera habitual enfermedades como la malaria, el dengue y ahora el zika.

Fundamentalmente, las epidemias son amenazas que siempre hemos querido combatir y, a ser posible, prevenir.

La peste ha dado lugar a visiones literarias como la de Daniel Defoe o la de Albert Camus, en las que la solidaridad se da la mano con el egoísmo y el terror, y recordamos también al joven Isaac Newton refugiado en el campo para librase de un rebrote de peste en Londres y dando a la luz a su gran obra científica. Pero fundamentalmente, las epidemias son amenazas que siempre hemos querido combatir y, a ser posible, prevenir.

En este aspecto, las matemáticas han sido y son de enorme ayuda. En 1766, en su artículo Essai d'une nouvelle analyze de la mortalité causée par la petite vérole, Daniel Bernoulli (uno más de la saga Bernouilli) presentó un primer modelo epidemiológico, que fue después mejorado por Lambert y Laplace. Los modelos determinísticos modernos (que no tienen en cuenta la estocasticidad del fenómeno), nacen con los trabajos de Ross, Kermack y McKendrick, autores de los modelos SIR y sus generalizaciones. En estos modelos, se toman las condiciones iniciales de una población, teniendo en cuenta los individuos que son infectados (I), los que son susceptibles de hacerlo (S) y los inmunes (R), y se incluyen en las ecuaciones, generalmente diferenciales, y su evolución sirve para predecir el curso de la enfermedad, su agresividad o potencia de contagio, y su posible alcance o probabilidad de extinción. En principio, esta capacidad predictiva nos permitiría actuar en el momento adecuado y contra los elementos de la población precisos para frenar, o al menos disminuir, la virulencia de una epidemia. Las ecuaciones de Lotka-Volterra (las mismas que describen la relación entre predadores y presas en un ecosistema) juegan también un papel en estas descripciones.

La capacidad predictiva nos permitiría actuar en el momento adecuado y contra los elementos de la población precisos para frenar, o al menos disminuir, la virulencia de una epidemia

Los modelos deterministas son muy efectivos prediciendo la evolución de una epidemia que afecte a poblaciones muy grandes. Sin embargo, en poblaciones pequeñas el curso de una enfermedad puede fluctuar de manera muy significativa y es imprescindible considerar otras alternativas. Se sustituyen así las ecuaciones diferenciales por variables aleatorias, modelos estocásticos y estadística; empleando teoría de sistemas dinámicos y modelos basados en aprendizaje automático (machine learning), o cadenas de Markov, para realizar análisis predictivos en conjuntos de datos. Muchos de estos modelos han sido influenciados por el trabajo clásico de Thomas Robert Malthus sobre el crecimiento exponencial de la población contenido en su obra An Essay on the Principle of Population en 1798, que fue refinado más tarde por la función logística de Pierre François Verhulst en 1838, al incluir además la tasa de recursos disponibles.

A grandes rasgos, esta es la artillería que las matemáticas ponen actualmente a disposición de los científicos para evitar, y si no es posible combatir las epidemias, instrumentos que el médico ha añadido ya a su maletín.

Manuel de León (Instituto de Ciencias Matemáticas) y Luis M. Martínez (Instituto de Neurociencias) son investigadores del CSIC. Ambos son también codirectores de los CorBI International Courses, un programa de formación de excelencia en biomedicina. En su primera edición reunió a jóvenes investigadores y científicos de primera línea internacional en A Coruña, del 26 de julio al 5 de agosto de 2016.