Remedio contra la melancolía

Teniendo en cuenta la limitación impuesta por el reglamento de la FIDE, la partida de ajedrez más larga posible constará de tantas veces 50 jugadas (de ambos bandos) como movimientos de peones y capturas de piezas sean posibles.

Con los peones solo se pueden efectuar 48 movimientos por bando, y dentro de esos 96 movimientos tiene que haber 8 capturas de piezas por peones, pues de lo contrario los peones adversarios situados en una misma columna se bloquearían mutuamente. Las 6 piezas restantes y las 16 producidas por promoción de todos los peones serán comidas al ritmo más lento posible (una cada 50 jugadas) hasta que solo queden los dos reyes en el tablero. Por lo tanto, habrá un máximo de 96+6+16=118 grupos de 50 jugadas, o sea, 118x50=5.900.

En la vida real, la partida más larga conocida fue la que disputaron en 1989, en Belgrado, Ivan Nikolic y Goran Arsovic. Duró 20 horas y 15 minutos, y terminó en tablas tras 269 jugadas.

Pero el tablero de ajedrez no es la única ni la primera cuadrícula que, con su sencilla apariencia geométrica encubridora de abismos insondables, con su inagotable combinatoria, ha fascinado a los humanos.

El cuadrado mágico de orden 3 ya se conocía en China en el III milenio a. C. con el nombre de Lo-Shu, pues según la leyenda estaba grabado sobre el caparazón de una tortuga que surgió del río Lo. En una cuadrícula de 3x3 están dispuestos los números del 1 al 9 de forma que los de cada fila, columna y diagonal sumen lo mismo: 15 (que es la “constante mágica” del cuadrado).

El segundo cuadrado mágico más conocido es el que aparece en el famoso grabado de Durero titulado Melancolía, y es una cuadrícula de 4x4 en la que están situados los números del 1 al 16 de manera que los de cada fila, columna y diagonal principal sumen 34.También suman 34 las cuatro cuadrículas de 2x2 en las que se puede dividir el cuadrado, así como los números de los vértices, los cuatro números centrales y los dos números centrales de las filas o de las columnas primera y última; por esta razón el cuadrado mágico de Durero se denomina a veces satánico o diabólico (aunque en puridad los cuadrados diabólicos son los que conservan la constante mágica en las diagonales quebradas). Además, las dos cifras centrales de la última fila indican el año de realización del grabado: 1514. Durante el Renacimiento, los cuadrados mágicos se consideraban un talismán contra el “humor negro” (la expresión no tenía el mismo significado que ahora); de ahí que aparezca en un grabado sobre la melancolía.

Hay un solo cuadrado mágico de orden 3 (se consideran iguales los que se obtienen por rotación o reflexión), 880 de orden 4 y 275.305.224 de orden 5. A medida que aumenta el orden de los cuadrados mágicos, su número crece vertiginosamente; hay aproximadamente 1,8 x 10¹⁹ cuadrados mágicos de orden 6, y 3,8 x 10³⁴ de orden 7.

En principio, un cuadrado mágico de orden n se forma con los n² primeros números naturales: el de orden 3 con los números del 1 al 9, los de orden 4 con los números del 1 al 16 y así sucesivamente; pero nada nos impide considerar otras posibilidades. Por ejemplo:

¿Se puede formar un cuadrado mágico de orden n con cualesquiera n² números consecutivos?

¿Se puede formar un cuadrado mágico con los nueve primeros números impares?

¿Se puede formar un cuadrado mágico con números primos?

¿Se te ocurren otras variantes interesantes?

Carlo Frabetti

Escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York, ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’